湖南省永州市2026届高三第一次模拟考试数学试卷（含答案）

湖南省永州市2026届高三第一次模拟考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则( ) A. B. C. D. 3.下列函数中既是奇函数又是增函数的为( ) A. B. C. D. 4.年“九三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为( ) A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则( ) A. B. C. D. 6.的展开式中，的系数为( ) A. B. C. D. 7.已知函数，直线与函数的图象相切，则( ) A. B. C. D. 8.已知两条直线：，：，有一动圆与交于，两点，与交于，两点，且，，则圆心的轨迹为( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在长方体中，，，，为上一动点，是的中点，则下列结论正确的是( ) A. 直线平面 B. 直线与平面的夹角是 C. 直线平面 D. 三棱锥的体积是 10.若实数，满足，则下列选项一定正确的有( ) A. B. C. D. 11.下列关于函数的说法，正确的有( ) A. 若，则 B. 当时，的图象不经过第三象限 C. 若有三个零点，，，则 D. 若有且只有一个正方形的四个顶点在函数图象上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，均为单位向量，且，则与的夹角等于 ． 13.在中，，，若以，为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 14.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，，，，，随机地抛掷该骰子三次各次抛掷结果相互独立，所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，． 求； 若，面积为，求． 16.本小题分 如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是线段上的一点不含端点． 证明：平面； 若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 17.本小题分 在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有个选项，至少个正确选项，不会出现个正确选项，全部选对得分，选错得分若正确答案有个选项，选对个得分：若有个选项，选对个得分，选对个得分已知每道多选题的正确选项为个与个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误． 若学生甲做第三道多选题时随机选择个选项，求他得分的概率； 学生甲做第三道多选题时随机选择个选项的得分记为，随机选择个选项的得分记为，随机选择个选项的得分记为，试比较，，的大小． 18.本小题分 抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点． 求抛物线的方程； 求证：； 取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值用含的式子表示． 19.本小题分 已知函数． 若，求实数的取值范围； 证明：； 若函数在时有最小值，求正实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：，， ，又， ，即，解得或， ，，； 由知，且，，， 面积为，，， 由余弦定理得，， ，． 16.解：因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面． 由平面，得，故 ， 设 ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量：， 平面的法向量：由知， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得． 17.解：设学生甲做第三道多选题时随机选择个选项，得分为事件， 得分当且仅当正确选项为个且学生恰好选中这个正确 ... ...