上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三上学期开学考试数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则“”是“”的 条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 2.装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次取出个球，有如下的一些事件：两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( ) A. B. C. D. 3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 4.设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是 ． 存在等比数列以及锐角，使成立． 对任意等差数列以及锐角，均不能使成立． A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.已知集合，则 ． 6.函数的定义域是 ． 7.已知，且为第三象限的角，则 ． 8.在的二项展开式中项的系数为 ． 9.若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 结果保留 10.已知非零复数满足，则的虚部为 ． 11.已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ． 12.如图，已知正三角形和正方形的边长均为，且二面角的大小为，则 ． 13.双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为 ． 14.年月日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为，且在照片上飞船船体长度为，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了假设该记者连按拍照键间的反应时间为，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 用含有、、、的式子表示 15.已知，恒成立，则实数的取值范围是 ． 16.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ． 存在正整数，使得成等差数列； 存在正整数，使得成等比数列； 存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列； 存在正整数，且，使得． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 设． 当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； 若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 18.本小题分 如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． 求证：平面； 若底面为梯形，，异面直线与所成角为求直线与平面所成角的正弦值． 19.本小题分 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离单位：米内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度单位：米其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段端点为，当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点． 求关于的函数解析式； 在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值精确到 20.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． 当时，求的值； 若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 21.本小题分 设若函数满足恒成立，则称函数具有性质． ... ...