(
课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题 数学人教A版 选择性必修 第二册 创设情境 引入课题 1 问题1 跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水过程中的快慢程度呢？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度 近似地描述他的运动状态. 创设情境 引入课题 1 问题1 跳水运动员的速度 思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 思考2 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度. 创设情境 引入课题 1 问题1 跳水运动员的速度 思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 思考3 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 特 殊 一 般 创设情境 引入课题 1 思考4 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 平均速度不能准确刻画运动员的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 问题1 跳水运动员的速度 抽象概念 内涵辨析 2 瞬时速度： 物体在某一时刻的速度. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 探究： 瞬时速度与平均速度有什么关系？ 你能利用这种关系求运动员在 时的瞬时速度吗？ 抽象概念 内涵辨析 2 为了求运动员在 时的瞬时速度，我们在 之后或之前，任取一个时刻 ， 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 问题1 跳水运动员的速度 抽象概念 内涵辨析 2 问题1 跳水运动员的速度 思考 你认为上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？ 用有限个计算结果，不能断定平均速度是否永远具有这种特征. 抽象概念 内涵辨析 2 问题1 跳水运动员的速度 抽象概念 内涵辨析 2 数 值 解 析 式 均速度 瞬时速度 体会 极限思想 微积分思想 运动 变化 数学文化 渊源流长 刘辉“割圆术”： 割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣. 数 学 文 化 博 大 精 深 多边形 逼近 圆 抽象概念 内涵辨析 2 思考5 你能用上述方法计算 时的瞬时速度吗？ 思考6 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 的瞬时速度？ 一 差 二 比 三极限 特 殊 一 般 问题1 跳水运动员的速度 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 不一定 x y O f(x)＝sinx －1 1 问题2 抛物线的切线的斜率 思考7：如何定义抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 与研究瞬时速度类似 在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2) 考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况 问题2 抛物线的切线的斜率 我们发现，当点P_____，割线P0P_____位置. 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势 T 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 问题2 抛物线的切线的斜率 思考8：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢 由切线定义知， x y 1 2 1 2 3 4 O P P0 T 割线P0P的斜率为 切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记 x＝x－1 ， P(1+ x, (1+ x)2)， 割线位置 切线位置 无限逼近 割线斜率 切线斜率 无限逼近 取极限 注： x可以是正 ... ...
