第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算 1．集合的含义与表示方法 (1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为?. (3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R. 2．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A?x∈B A?B或B?A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A?B，且?x∈B，x?A A?B或 B?A 相等 集合A，B的元素完全相同 A?B，且B?A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 ?x，x??，??A ? 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 续补集 全集U中不属于集合A的元素组成的集合 {x|x∈U，且x?A} ?UA 4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A是其本身的子集，即A?A； (2)子集关系的传递性，即A?B，B?C?A?C； (3)运算性质 ①A∩B＝B∩A，A∩B＝A?A?B. ②A∪B＝B∪A，A∪B＝B?A?B. ③?S(?SA)＝A，(?SA)∪(?SB)＝?S(A∩B)，(?SA)∩(?SB)＝?S(A∪B)． [小题体验] 1．(教材习题改编)下列关系中正确的序号为_____． ①{0}＝?；②0∈{0}；③??{0}；④{0,1}?{(0,1)}；⑤{(a，b)}＝{(b，a)}． 解析：由集合的有关概念易知②③正确． 答案：②③ 2．(教材习题改编)集合，用列举法表示为_____． 解析：用列举法可知x可取0,1,2. 答案：{0,1,2} 3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(?UB)＝_____. 答案：{2,4} 4．集合{a，b}的所有子集为_____． 答案：{a}，{b}，{a，b}，? 1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心． 5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． [小题纠偏] 1．若集合A＝{a＋1，a－1，a2－3}满足1∈A，则实数a的值为_____． 解析：若a＋1＝1，则a＝0，A＝{1，－1，－3}，满足；若a－1＝1，则a＝2，此时a2－3＝1，与集合的互异性矛盾，舍去； 若a2－3＝1，则a＝±2，a＝2舍去，当a＝－2时，A＝{－1，－3，1}，满足． 答案：0或－2 2．已知集合M＝{x|y＝x2＋2x＋4}，N＝{y|y＝2x2＋2x＋3}，则M∩N＝_____. 解析：因为M＝R，N＝，所以M∩N＝. 答案： 3．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为_____． 解析：当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x?N，故集合A＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7. 答案：7 [题组练透] 1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为_____． 解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个． 答案：9 2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝?，则实数a的取值范围为_____． 解析：∵A＝?，∴方程ax2－3x＋2＝0无实根，当a＝0时， x＝不合题意，当a≠0时，Δ＝9－8a<0，∴a>. 答案： 3．(易错题)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为_____． 解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集 ... ...
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