周测12 双曲线 (时间：75分钟 分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.设F1，F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=3，则|PF2|等于( ) A.5 B.1 C.3 D.1或5 答案 A 解析 由题意得，a=1，b=3，因此c=，由于a+c=1+>|PF1|=3，故点P只可以在双曲线的左支上，因此|PF1|-|PF2|=-2，即3-|PF2|=-2，所以|PF2|=5. 2.双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的一条渐近线方程为( ) A.x-y=0 B.x-y=0 C.x-y=0 D.x-y=0 答案 B 解析 因为双曲线C的离心率e==，所以=，所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0. 3.图1是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一部分(图2)，该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径.则该双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 如图，由题意可知|CD|=2a，|AB|=2|CD|=4a， 因为塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点A(2a，2a)， 将点A的坐标代入双曲线方程得-=1，解得=，所以该双曲线的离心率e===. 4.已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，若·=0，则|+|等于( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 D 解析 设双曲线C的焦距为2c，由题意可得，c==5.因为·=0，所以⊥，由斜边上的中线等于斜边的一半可知|+|=2||=||=2c=10. 5.已知一个动圆P与两圆C1：(x+2)2+y2=1和C2：(x-2)2+y2=4都外切，则动圆P的圆心的轨迹方程为( ) A.4x2-=1(x<0) B.4x2-=1 C.-=1(x<0) D.-=1 答案 A 解析 设动圆P的半径为R， 由于动圆P与两圆C1：(x+2)2+y2=1和C2：(x-2)2+y2=4都外切， 所以|PC1|=R+1，|PC2|=R+2， 即|PC2|-|PC1|=1<|C1C2|=4， 可知动圆P的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为1的双曲线的左支， 即a=，c=2，b=， 所以动圆P的圆心的轨迹方程为4x2-=1(x<0). 6.已知双曲线C的方程为5x2-y2=1，过点P(0，-1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M，N.若=2，则直线l的方程为( ) A.y=x-1 B.y=x-1或y=-x-1 C.y=x-1或y=-x-1 D.y=x-1 答案 D 解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 易知x1<0，x2>0， 联立得(5-k2)x2+2kx-2=0， 则x1+x2=，① x1x2=，② 因为=2，则-x1=2x2，③ 联立①③，解得x1=，x2=， 代入②，得k=1或k=-1(舍去)，经检验符合题意， 则直线l的方程为y=x-1. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 7.已知F是双曲线-=1的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则∠POF的大小可能是( ) A.15° B.25° C.60° D.165° 答案 ABD 解析 因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±x，即y=±x，因此两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°， 当点P在右支上时，∠POF的取值范围是0°≤∠POF<30°，当点P在左支上时，∠POF的取值范围是150°<∠POF≤180°， 因此结合选项知∠POF的大小不可能为60°，可能为15°，25°，165°. 8.已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是( ) A.双曲线C的方程为-y2=1 B.直线x+y+1=0与双曲线C有两个交点 C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点 D.焦点到渐近线的距离为1 答案 ACD 解析 由题意，设双曲线C的方程为-y2=m(m≠0)， ∵双曲线C过点(3，)，∴m=3-2=1， ∴双曲线C的方程为-y2=1，故A正确； 联立消去x得y=，故直线与双曲线只有一个交点，故B错误； 由-y2=1得焦点坐标为(±2，0)，将(2，0)代入y=ex-2-1得e0-1=0，故C正确； 由双曲线的性质知，焦点(2，0)到渐近线x-y=0的距离d==1，故D正确. 9.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)经过点M(2)，并且它的一条渐近线 ... ...
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