16.3.1 平方差公式 课件（32张ppt）人教版数学（2024）八年级上

第十六章　16.3　乘法公式 16.3.1　平方差公式 1.理解平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公式的几何背景. (重点) 2.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.(重点、难点) 学习目标 情境引入 某同学在计算97×103时将其变成(100－3)×(100＋3)，并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律. 一、平方差公式的推导及结构特征 问题1　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1)(x＋1)(x－1)＝　　　；? (2)(m＋2)(m－2)＝　　 　；? (3)(2x＋1)(2x－1)＝　　　 .? 提示　规律：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. x2－1 m2－4 4x2－1 问题2　根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ (a＋b)(a－b) a2－b2 (1)图1中阴影部分的面积为　　　 ；? (2)将图1中阴影部分拼成图2所示的一个长方形，这个长方形的长是　　　，宽是　　　，面积是　　　　　　. a＋b a － b 知识梳理 1.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 .这个公式叫作(乘法的)平方差公式. 2.结构特征：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式. a2－b2 平方差 例1 下列各式中，可以用平方差公式计算的是 A.(x＋y)(x＋y) B.(－x＋y)(x－y) C.(－x－y)(y－x) D.(x＋y)(－x－y) √ 解析　A中含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误； B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误； C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确； D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误. 跟踪训练1 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是 A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ √ 解析　图①的左侧图形的阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2－b2，拼成的右侧图形的阴影部分是底为a＋b，高为a－b的平行四边形，因此面积为????+?????????????，所以有a2－b2＝????+?????????????，所以图①可以验证平方差公式； 图②的左侧图形的阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 a2－b2，拼成的右侧图形的阴影部分是长为a＋b，宽为a－b的矩形，因此面积为????+?????????????，所以有a2－b2＝????+?????????????，所以图②可以验证平方差公式； ? 图③的左侧图形的阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 a2－b2，拼成的右侧图形的阴影部分是底为a＋b，高为a－b的平行四边形，因此面积为????+?????????????，所以有a2－b2＝????+?????????????，所以图③可以验证平方差公式； 图④的左侧图形的阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即????+????2??????????2，拼成的右侧图形的阴影部分是长为2a，宽为2b的长方形，因此面积为4ab，所以有????+????2??????????2＝4ab，所以图④不能验证平方差公式. 综上所述，能验证平方差公式的有①②③. ? (课本P112例1)运用平方差公式计算： (1)(3x＋2)(3x－2)； 例2 解　(3x＋2)(3x－2) ＝(3x)2－22＝9x2－4. (2)(－x＋2y)(－x－2y). 解　(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2. 跟踪训练2 下列计算对不对？若不对，请在横线上写出正确结果. (1)(x－3)(x＋3)＝x2－3(　　　)，　 　　；? (2)(2x－3)(2x＋3)＝2x2－9(　　　)， 　　　；? (3)(－x－3)(x－3)＝x2－9(　　　)， 　　　；? (4)(2xy－1)(2xy＋1)＝2xy2－1(　　　)，　　 　　.? 错误 x2 ... ...