3.2.1 基本不等式的证明 课件（共19张PPT）

3.2.1 基本不等式的证明 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 虫草放到天平的左边，测出它的质量为???? ? a 虫草放到天平的右边，测出它的质量为b b （算术平均数） 冬虫夏草是名贵的滋补药材.某虫草店有一架天平，由于操作不当，现在两臂长度不等.虫草店老板说：“我的天平有毛病，现在我把虫草放到左托盘上称一次，再放到右托盘上称一次，虫草的重量就是两次的平均数。”请问这样称得的虫草重量是多了，还是少了？ 设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体实际质量为 M，根据力学原理有 l1M ＝ l2a， l2M ＝ l1b. 将上述两个等式的两边分别相乘，得 l1l2M2＝l1l2ab， 所以 M＝????????. ? 算术平均数与几何平均数 由此可知，物体的实际质量是????????. 对于正数 a，b，我们把 ????＋????2 称为 a，b 的算术平均数， ???????? 称为 a，b 的几何平均数. ? 思考：两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? l2 l1 当a＞0，b＞0时，我们可以尝试作出长度为???????? 和 ????＋????2 的两条线段，再比较这两条线段的长. ? 如图，AB是⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C作CD⊥AB 交⊙O 的半圆于点 D，连接 AD，BD，易知 △ACD∽△DCB，故 ????????????????＝????????????????，得CD＝????????. ? 而OD＝????＋????2，且CD≤OD， 所以 ???????? ≤ ????＋????2 当且仅当点 C与点O 重合，即 a＝b 时，等号成立. ? 也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等. 下面证明上述猜想，你能想到哪些方法？ ????＋????2 －???????? ＝ 12(a＋b－2????????) ＝ 12[(????)2＋(????)2－2????????] ＝ 12(????－????)2. ? 因为(????－????)2 ≥ 0，所以????＋????2－????????≥0 ， 即?????????≤ ????＋????2. 当且仅当???? ＝ ????，即a＝b时，等号成立. ? 只要证 2?????????≤ a＋b， 只要证 0≤a－2????????＋b， 只要证 0≤(????－????)2. ? 因为最后一个不等式成立， 所以 ?????????≤ ????＋????2 成立， 当且仅当 a＝b 时，等号成立. ? 对于正数 a，b，有 证法1 ： ???????? ≤ ????＋????2 ? 对于正数 a，b，要证 ?????????≤ ????＋????2. ? 证法2： 对于正数 a，b，有 (????－????)2≥0， ? a＋b－2????????≥0， ? a＋b≥2????????， ? ????＋????2≥a＋b. ? 当且仅当 a＝b 时，等号成立. 证法3： (1) 公式： ① 条件：a，b是正数； ② 结论：_____； ③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时. 一、基本不等式 ?????????≤ ????＋????2 ? 当 a，b≥0时，这个 不等式仍然成立. 我们把不等式?????????≤ ????＋????2 (a，b≥0) 称为基本不等式. ? (2) 本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数 ????＋????2 不小于它们的几何平均数???????? . ? 归纳总结 (3) 变形式： 当 a，b∈R 时，由(a－b)2≥0可得a2＋b2≥2ab，a2＋b2＋2ab≥4ab， 即 ????2＋????22 ≥ab，(????＋????2)2≥ab， 当且仅当 a＝b时，其中的等号成立. ? 从而得到：当 a，b∈R 时， ab≤ ????2＋????22 (当且仅当 a＝b 时，等号成立)； ab≤(????＋????2)2 (当且仅当 a＝b 时，等号成立). ? 这两个不等式通常可以直接使用. 当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式. 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立： (1) ????????＋ ?????????≥2； ? (2) a＋b＋1????＋ 1?????≥4； ? 证明：（1） 因为 a，b 为正数，所以 ?????????， ???????? 也为正数. 由基本不等式，得????????＋???????? ≥2????????·???????? ＝2， 当且仅当 ????????＝???????? ，即 a＝b 时，取得等号. 所以原不等式成立. ? 例1 ： 证明：（2） 因为 a，b 为正数，所以 1?????， 1???? 也为正数. 由基 ... ...