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课件网) 3.3.1 抛物线的标准方程 第3章 1.理解抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程. 彩虹 生活中的抛物线 拱桥 把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线. 思考：观察点P的轨迹，说出点P满足的几何条件. 点P到定点F的距离和到定直线l的距离相等. 平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线. 定义式：|MF|=d (d为M到l的距离) 注：若直线l过点F，则点M的轨迹是过点F且与l垂直的直线. 点F叫做抛物线的焦点; 直线l叫做抛物线的准线. 准线 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？ 取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy. l F M H K O y x 设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0)，则|KF|=p，那么焦点F的坐标为 准线l的方程为 设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d，则|MF|=d. l F M H K O y x 因为 所以 将上式两边平方并化简，得 思考交流：在建立椭圆和双曲线的标准方程时，由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同，它们各有两种形式的标准方程，你认为抛物线的标准方程一共有几种形式 请分别指出抛物线的焦点位置，并写出相应的标准方程和准线方程. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____ _____ _____ _____ _____ _____ y2＝2px(p>0) F(，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ 归纳总结 归纳总结 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____ _____ _____ _____ _____ _____ x2＝2py(p>0) F(0，) y＝－ x2＝－2py(p>0) F(0，－) y＝ 快问快答：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. 提醒 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直. (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的符号. (4)由方程写焦点坐标、准线方程时勿忘记化为标准方程. 例1 已知抛物线的焦点为F(5，0)，求抛物线的标准方程和准线方程. 解：∵抛物线的焦点为F(5，0)， ∴可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，其中＝5， 即p＝10，2p＝20， 因此所求抛物线的标准方程是y2＝20x，准线方程是x＝-5. 例2 求经过点P(-2，-4)的抛物线的标准方程. 解：如图，∵点P在第三象限， ∴满足条件的抛物线的标准方程有两种情形： y2＝-2p1x(p1＞0)和x2＝-2p2y(p2＞0)， 分别将点P的坐标代入方程可解得p1＝4，p2＝， 因此满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝-8x，x2＝-y. 归纳总结 求抛物线的标准方程一般有两种形式： (1)定义法：直接利用定义求解； ①已知抛物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，求出p 值; ②焦点位置不确定，则分情况讨论 焦点在 x 轴上，设 y2＝ax (a ≠ 0) ， 焦点在 y 轴上，设 x2＝ay (a ≠ 0)． (2)待定系数法： 例3 已知探照灯的轴截面是抛物线y2＝x，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1，-1)，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点，试确定点Q的坐标. 解：∵抛物线y2＝x的焦点为F(，0)， ∴直线PF的方程为，即y＝-x＋， 由Q(x，y)是抛物线与直线PF的公共点， 解方程组得或(舍去)， 故点Q的坐标为(，). 回顾本节课，回答下列问题： (1)抛物线的标准方程的四种形式. (2) ... ...
