1.4 两条直线的交点 课件（18页）

1.4 两条直线的交点 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 点A(－2，2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？ 在，点A是直线l1与l2的交点. 问题：判断直线x＋y＝2与直线x－y＝0的位置关系，若不平行，求出其交点坐标. 不平行，联立方程组????+????=2?????????=0，解得????=1????=1， ∴交点坐标为(1，1). ? 求两相交直线的交点坐标:先判断两直线的位置关系，若两直线不平行，则解相应的直线方程所组成的二元一次方程组，方程组的解即为交点的坐标. 讨论：如果直线l1和l2相交，那么交点的坐标是这两个方程组成的方程组的解，反之，以两个二元一次方程组成的方程组的解为坐标的点是否为两直线的交点？ 不是，当且仅当这两个二元一次方程只有一个公共解时， 以这个解为坐标的点是直线l1和l2的交点． 思考：设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，那么方程组的解的情况和两直线的相交、重合、平行有怎样的关系？ (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时，两直线相交. (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1与l2相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0. (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交?k1≠k2. 例1 (多选)下列选项中，正确的有( ) A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1，3) B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2，1) C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2，2) D.直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 √ 例1 (多选)下列选项中，正确的有( ) A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1，3) B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2，1) C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2，2) D.直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 √ √ 变式：若将例1中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值. 解：解方程组????＝14－4????2????－3????＝14得????＝4????＝?2， ∴这两条直线的交点坐标为(4，-2)， 由题意知点(4，－2)在直线mx＋2y＋7＝0上， 将(4，－2)代入，得4m＋2×(－2)＋7＝0， 解得m＝?34. ? 归纳总结 已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围. 例2 求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解：由2?????3?????3=0????+????+2=0，得????=?35????=?75， 即交点坐标为(?35，?75)， 依题设所求直线方程为3x+y+C=0， 由于这条直线过(?35，?75)，所以3×(?35)+(?75)+C=0， 解得C=165， 所以所求直线方程为3x+y+165=0，即15x+5y+16=0. ? 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 例2 求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， ∴?2＋????????－3=?3，?2?????3????－3≠1， 解得λ=112，所求直线方程为15x+5y+16=0. ? 变式：求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程． 解：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－ ... ...