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课件网) 2.1.2 圆的一般方程 第2章 1.掌握圆的一般方程及其特点，会由一般式求圆心和半径. 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题. 问题1:圆的标准方程是什么？ 它是关于x，y的什么形式的方程？ (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (r>0) (a，b)为圆心， r为半径 x2 +y2 =r2 圆心在原点 二元二次方程 问题2:一般地，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？ (x-1)2+(y-2)2=4 x2+y2-2x+4y+1=0 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 能否将形式写得更简单一点呢？ 问题3:反过来，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆呢 将方程左边配方，并把常数项移到右边，得 方程无实数解，所以不表示任何图形. 表示以( )为圆心， 以 为半径的圆. D2+E2-4F >0， =0， <0， (x-a)2+(y-b)2=r2 >0 方程只有一组解 ，表示一个点( ). 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程. 提醒 ①关于x，y的二元二次方程，x2与y2系数都是1； ②没有xy这样的二次项； ③圆心为( , )，半径为 . 标准方程 一般方程 方程 代数特征 系数 圆心 半径 问题4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？ 平方和 特殊的二元二次方程 （a,b） r 例1 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0， ∵点A，B，C在所求的圆上，∴， 解得， 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5=0. 有其他解法吗？ 例1 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 法二：设所求圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ， ∵点A，B，C在所求的圆上，∴， 解得， 故所求圆的方程是(x – 3)2 + (y – 1)2 =5 . 待定系数法(求圆的标准方程) 例1 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 法三：由题可知AB的中垂线方程为y－＝x－， BC的中垂线方程为y－1＝－(x－3)， 联立两条中垂线方程解得△ABC外接圆的圆心坐标为(3，1)， 则该外接圆的半径r＝＝， 故所求圆的方程是(x – 3)2 + (y – 1)2 =5. 几何法 归纳总结 求圆的方程的方法 1.待定系数法: (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程. 2.几何法: 充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程 例2 已知点M(x，y)到两个定点A(-3，0)，B(3，0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线. 解：依题意有，即， 化简整理得x2＋y2－10x＋9＝0(*)， 反过来可验证当x，y满足(*)时，点M到点A，B的距离之比为2， 因此x，y满足的关系式为x2＋y2－10x＋9＝0，即(x－5)2＋y2＝16， 因此满足条件的点M所构成的曲线为以点(5，0)为圆心，4为半径的圆. 满足条件的点M所构成的曲线即为动点M的轨迹，对应的方程即为动点M的轨迹方程. 解：由图可知点A(-18，0)，B(18，0)，P(0，6)， 设圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0， ∵点A，B，P在所求的圆上，∴，解得， 故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0， 将点P2的横坐标x＝6代入上述方程得y＝-24＋12≈5.39， 答：支柱A2P2的长约为5.39m. 例3 某圆拱梁的示意图如图所示.该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01m). 归纳总结 解应用题的步骤 (1)建模. (2)转化为数学问题求解. (3)回归实际问题，给出结论. 1.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为( ) ... ...
