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课件网) 1.3.2 两条直线的垂直 第1章 理解两条直线垂直的条件； 能根据斜率判定两条直线垂直； 能利用两直线垂直的条件解决问题. 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，比如十字路口，黑板相邻两边等等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两条平行直线的倾斜角之间的关系，当斜率存在时，斜率也有联系，那么两条垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢？ 问题1：如何判断直线l1：2x-y+1=0与l2：x+2y+2=0是否垂直？ 如果设l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2， 因此 tanα2=tan(α1+)= 即tanα1tanα2=-1，故k1k2=-1. 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+bl，l2：y=k2x+b2， 可得 l1⊥l2 k1k2=-1 又因为k1=2，k2=-，所以可知l1与l2垂直. 由图，l1与l2垂直的充要条件是α2=α1+ ， 问题2：如果两条直线斜率的乘积为－1，这两条直线互相垂直吗？ 两条直线互相垂直 问题3：两条直线互相垂直，一定能得到两条直线的斜率之积等于－1吗？ 不一定，因为两条直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在. 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 例1 (1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD； (2)已知直线l1:3x＋5y－10＝0，l2:15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2. 证：(1)∵，， ∴，∴ (2)由方程可知，，， ∴∴l1⊥l2. 例2 当a为何值时，直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1＝0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2＝0垂直？ 解：当1-a＝0，即a＝1时，直线l1：3x-1＝0与直线l2：5y+2＝0显然垂直. 当2a+3＝0，即a＝时，直线l1：x+5y-2＝0与直线l2：5x-4＝0不垂直. 当1-a≠0且2a+3≠0时，直线l1，l2的斜率k1，k2存在，k1＝，k2＝. 当k1·k2＝-1时，l1⊥l2，即() ·() ＝-1，解得a＝-1. 综上可知，当a＝1或a＝-1时，直线l1⊥l2. 归纳总结 判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直． 例3 已知三角形的三个顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在的直线方程． 解：由题可知直线BC的斜率为， ∵AD⊥BC，∴， 根据直线的点斜式方程得所求直线AD的方程为 ， 即3x－5y＋14=0. 过(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 例4 在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0.01 m) 解：如图，记灯柱顶端为B，灯罩顶为A，灯杆为AB.灯罩轴线与道路中线交于点C，灯柱的高为h m．以灯柱底端O点为原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系． 则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为(11.5，0)， ∵∠OBA＝120°，∴直线BA的倾斜角为30° ， 从而点A的坐标为(2.5cos 30°，h＋2.5sin 30°)， 例4 在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0.01 m) 即(1.25，h＋1.25)， ∵CA⊥BA，∴kCA＝＝－＝－， 从而直线CA的方程是y－(h＋1.25)＝－(x－1.25)， 又灯罩轴线CA过点C(11.5,0)， 则－(h＋1.25)＝－(11.5－1.25)，解得h≈14.92， 故当灯柱高约为 14.92 m时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线． 根据本节课所学回答下列问题： 1.直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，满足什么条件时，l1与l2垂直？ 1.已知直线l1的倾 ... ...
