山东省青岛第二中学2025届学高三上学期期末数学试卷（含答案）

山东省青岛第二中2025届学高三上学期期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若，则在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.设向量，，则在上的投影为( ) A. B. C. D. 4.已知，则( ) A. B. C. D. 5.在中，以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为( ) A. B. C. D. 6.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是( ) A. B. C. D. 7.已知函数的最大值为，则正实数的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 8.已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 10.记为数列的前项和，已知则( ) A. 是数列中的项 B. 数列是公比为的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 11.已知点在圆上，，动点满足：在中，则( ) A. 记的轨迹方程为轨迹： B. 的最大值为 C. 的最小值是 D. 点为坐标原点的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设是定义域的子集，对，将的最大值称为在上的振幅，记作若曲线在点处的切线斜率为，且，则 ． 13.如图，椭圆的右顶点是抛物线的焦点，过作轴的垂线交于点，线段与交于点，是焦点则的离心率 ． 14.三名运动员练习射击，甲、乙、丙三人的中靶概率分别为，，，若三人各射击一次，则甲、乙、丙三人都中靶的概率为 ；至少有两人中靶的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量． 求的取值范围； 记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域． 16.本小题分 在三棱柱中，，平面． 证明：平面． 已知，．上是否存在一点，使得平面和平面夹角的正切值为？若存在，确定位置；若不存在，说明理由． 17.本小题分 已知定义在上的函数满足，且，． 若不等式恒成立，求实数的取值范围； 设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知双曲线的离心率为，右焦点与点的连线与其一条渐近线平行． 求双曲线的方程； 经过点的直线与双曲线的右支交于点，试问是否存在一定点，使恒成立，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 数列、满足：是等比数列，，，且． 求数列、的通项公式． 求集合中所有元素的和． 对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为， 可得 ， 因为，所以． 解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是． 16.解：证明：已知平面，平面，． ，，平面． 又平面，平面平面． 过作的平行线作为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴为坐标原点，为正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由，，，，即， 设， 则，，，，，， ，． 设平面的法向量为，则有，令， 易得平面的一个法向量为． 平面的法向量为， ，， ，令， 平面的一个法向量为． ． 设平面和平面夹角为，则由平面和平面夹角的正切值为， 即，又，解得， ，解得，即是的中点． 17.解：由题意知，， 即， 所以， 故， ， 因为函数为增函数，函数在其定义域上单调递增， 所以单调递增，又为增函数， 所以函数在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于， 即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时取 ... ...