建平中学2025-2026学年第一学期高三年级数学周练1 2025.9 一、填空题 1．已知全集，则 . 2．若，则 . 3．设i为虚数单位，若，则 . 4．已知等比数列的首项与公比相等，若，则 . 5．函数在处的切线斜率为 . 6．设实数，圆的面积为，则 . 7．某工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 . 8．在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数 . 9．在的展开式中，直线过中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为 . 10．设且．若对任意均成立，则当时，的取值范围为 . 11．如图，是某中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用 水泥平方米 （精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损） 12．已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 二、单选题 13．设，则下列选项中正确的是（ ）. A． B． C． D． 14．有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件＂第一次取出的卡片上的数字为2＂，表示事件＂第一次取出的卡片上的数字为奇数＂，表示事件＂两次取出的卡片上的数字之和为6＂，表示事件＂两次取出的卡片上的数字之和为，则（ ）. A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 15．设．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）. A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，记，设点，点，给出如下结论：（1）任意，存在，对任意正整数为大于零的常数．（2）任意，存在，对任意正整数为大于零的常数．下列选项中，判断正确的是（ ）. A．命题（1）成立，命题（2）成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）不成立，命题（2）不成立 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18．设．己知函数的定义域为，且． （1）若函数是偶函数，求的值； （2）设，若对任意的，均有，求的取值范围． 19．某中学举行了一次＂数学文化知识竞赛＂，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计。将成绩进行整理后，分为五组，，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积．请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． （1）若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅保留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（四舍五入精确到1分） （2）从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数：，化知这10个分数的平均数、方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差． 20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设．若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 21．对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义. （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过，求的值并求出集合； ... ...
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