9.3.1 平面向量基本定理（含解析）

9.3.1　平面向量基本定理 一、 单项选择题 1 (2024秦皇岛期末)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1＋3e2，b＝－2e1＋ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为(　　) A. －6 B. 6 C. D. － 2 如图，在△ABC中，P是线段BC上的一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　) A. B. C. D. (第2题) 　(第3题) 3 (2024芜湖期中)如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则等于(　　) A. －＋ B. －＋2 C. －2＋ D. －2 4 (2024广东期末)如图，点O是△ABC的重心，D是边BC上的一点，且＝4，＝m＋n，则的值为(　　) A. B. － C. － D. 5 (2024宿州期中)在△ABC中，点D满足＝，点E在射线AD(不含点A)上移动．若　＝λ＋μ，则(μ＋2)2＋λ2的取值范围是(　　) A. [4，＋∞) B. (4，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞) 6 如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若　＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、 多项选择题 7 (2023福州日升中学期中)下列说法中，正确的有(　　) A. 已知a，b是平面内的两个非零向量，对于实数m，n，ma＋nb一定在该平面内 B. 已知e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0 C. 已知a，b是平面内的两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则m＝p，n＝q D. 已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对 8 (2024扬州期中)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E是CD的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝＋ B. ||＝12 C. ·＝－6 D. 在上的投影向量为 三、 填空题 9 已知AM是△ABC的边BC的中线，若＝a，＝b，则＝_____．(用a，b表示) 10 (2024潮州期中)在△ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若＝λ，＝＋μ，则λ＋μ＝_____． 11 (2024浙江期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O.设＝m＋n，则m＋n＝_____；若·＝6·，则 ＝_____． 四、 解答题 12 如图，在△ABC中，E是AB的中点，＝2，BC＝3，AB＝4，∠ABC＝60°. (1) 求||的值； (2) 若＝λ，＝μ，求λ和μ的值． 13 (2024丽水期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝2AD＝4，E，F分别为AB和BC上的动点(包含端点)，且＝λ，＝μ. (1) 若λ＝μ＝. ①请用，表示； ②设AF与DE相交于点G，求的值； (2) 若λ＋μ＝1，求·的取值范围． 9.3.1　平面向量基本定理 1. A　设a＝λb，λ∈R，由a＝e1＋3e2，b＝－2e1＋ke2，得e1＋3e2＝λ(－2e1＋ke2)，即解得k＝－6. 2. C　因为B，P，C三点共线，所以设＝n(n≥0)，即－＝n(－)，整理，得＝＋.因为＝t＋，所以解得t＝. 3. C　由题意，得　＝＋＝＋＝＋－，易知△OEF∽△OBC，所以＝＝＝，所以＝，＝.在△OED中，＝＋，所以＝×＋＝＋，即(＋－)＝＋，整理，得＝－2＋. 4. C　如图，延长AO交BC于点E.因为点O是△ABC的重心，所以E为BC的中点，且＝2，则＝(＋).因为＝4，所以D是BC上靠近点C的四等分点，则＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－＋.因为＝m＋n，所以m＝－，n＝，所以 ＝－. 5. B　由点E在射线AD(不含点A)上，设＝k，k>0，又＝，则＝k(＋)＝k[＋(－)]＝＋，所以则t＝(μ＋2)2＋λ2＝＋k2＝k2＋3k＋4>4，所以(μ＋2)2＋λ2的取值范围是(4，＋∞). 6. D　如图，过点C分别作CC1∥OB交OA的延长线于点C1，作CC2∥OA交OB的延长线于点C2，则四边形OC1CC2为平行四边形. 由∠BOA＝120°，∠COA＝30°，得∠COB＝90°.在Rt△OCC2中，||＝2，∠OCC2＝30°，所以||＝2，||＝4.所以||＝||＝4，所以＝4＋2，所以λ＋μ＝6. 7. ABD　对于A，a，b是平面内的两个非零向量，对于实数m，n， ... ...