第9章 平面向量 本章复习（含解析）

第9章　平面向量 本 章 复 习 一、 单项选择题 1 (2024南通期末)已知向量a＝(－2，4)，b＝(1，x).若a∥b，则|b|的值为(　　) A. B. C. 2 D. 4 2 在△ABC中，D是边AB上靠近点A的三等分点，E是边BC的中点，则等于(　　) A. －－ B. ＋ C. － D. ＋ 3 (2023湖州期末)已知单位向量a，b满足|a－2b|＝，则a在b上的投影向量是(　　) A. a B. －a C. b D. －b 4 (2024绍兴期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a－b)⊥(3a＋b)，则向量a与b夹角的余弦值是(　　) A. － B. C. － D. 5 (2024连云港期末)在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD为钝角，且AB＝AD＝2DC＝2.若E为线段BD上一点，AE＝BE，则·的值为(　　) A. B. 1 C. D. 6 (2023丽水期末)如图，A，B，C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则|＋＋2|的最大值是(　　) A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 二、 多项选择题 7 若a，b是任意的非零向量，则下列命题中正确的是(　　) A. 若a∥b，则a·b＝|a·b| B. 若(a－b)⊥(a＋b)，则|a|＝|b| C. 若|a－b|＝|a＋b|，则a⊥b D. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，则存在实数λ，使得b＝λa 8 (2024邯郸期末)已知非零向量a，b，c，则下列命题中错误的是(　　) A. 若a·a＝b·b，则a＝±b B. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，则|a·b|＝|a||b| C. 若|a|＝2，b＝(1，1)，且a∥b，则a＝(，) D. 若a＝(3，4)，则与a垂直的单位向量的坐标为 三、 填空题 9 已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____． 10 已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角是_____． 11 在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，且CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝_____；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为_____． 四、 解答题 12 (2024镇江期末)在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(1，－1)，＝(3，1)，＝(m，3)(其中m∈R)，D为坐标平面内的一点． (1) 若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2) 若向量与的夹角为，求实数m的值； (3) 若四边形ABCD为矩形，求点D的坐标． 13 (2024苏州期末)如图，在平行四边形ABCD中，已知A＝，AB＝2，AD＝1，E为线段AB的中点，F为线段BC上的动点(不含端点).记＝m. (1) 若m＝，求线段EF的长； (2) 若m＝，设＝x＋y，求实数x和y的值； (3) 若CE与DF交于点G，∥，求向量与夹角的余弦值． 第9章　平 面 向 量 本 章 复 习 1. B　因为a∥b，所以a＝λb，λ∈R，即(－2，4)＝(λ，xλ)，所以解得所以b＝(1，－2)，故|b|＝＝. 2. B　如图，由题意，得＝，＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋. 3. D　由已知，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝7，因为|a|＝|b|＝1，所以1－4a·b＋4＝7，即a·b＝－，所以a在b上的投影向量为·＝－b. 4. A　设向量a，b的夹角为θ，因为(a－b)⊥(3a＋b)，所以(a－b)·(3a＋b)＝0，即3a2－2a·b－b2＝0，即3－2a·b－4＝0，解得a·b＝－，故向量a与b夹角的余弦值为cos θ＝＝＝－. 5. B　如图，取AB的中点O，因为AE＝BE，所以OE⊥AB，以AB，OE所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0).设∠BAD＝α(<α<π)，E(0，a)，则D(2cos α－1，2sin α)，C(2cos α，2sin α)，所以＝(－1，a)，＝(2cos α－2，2sin α)，＝(2cos α＋1，2sin α).因为∥，所以－1×2sin α＝a(2cos α－2)，解得a＝，则＝(－1，)，故·＝－1×(2cos α＋1)＋＝＝1. 6. C　连接AB，CO.因为AC⊥BC，所以AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，则＋＝(＋)＋(＋)＝2，所以|＋＋2|＝|2＋2(＋)|＝|4＋2|≤4||＋2||＝4×2＋2×1＝10，当且仅当M，O，C三点共线，且，同向时，等号成立，故|＋＋2|的最大值为10. 7. BCD　对于A，若a∥b，则a与b的夹角为0或π，所以a·b＝|a||b|cos 0＝|a||b| ... ...