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课件网) 3.1 指数幂的拓展 学习目标 1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化，体现逻辑推理能力（重点） 2.了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法，体现数学抽象能力（难点） 新课导入 初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质.根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？ 在实际问题中，指数幂中的指数不一定都是整数. n个a 新课学习 提出一个问题： 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零.经测算，薇甘菊侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t（年）的关系式为:S=S0 1.057t其中S0为侵害面积的初始值. 根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是S0 1.05710hm2，其中1.05710是整数指数幂的形式. 新课学习 思考一下：那么经过15.5年，薇甘菊的侵害的面积是多少？ S=S0 1.05715.5 新课学习 n次方根的概念 如果xn=a(n＞1，n∈N+)，那么x叫作a的n次方根. 根式的概念 当有意义时，式子叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数. n次方根的性质： 1.负数没有偶次方根(即负数的偶次方根无意义) 2.正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为(n为奇数，a∈R) 新课学习 正分数指数幂的概念 新课学习 思考一下：分数指数幂有什么性质？ 需要强调的是，在指数幂的概念中，总有a>0. 新课学习 例1：把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式： (1)b5=20; (2)b4=25; (3)bn=2m(m,n∈N+); (4)b3n=π9m(m,n∈N+). 新课学习 负分数指数幂的概念 因为正数的负整数指数幂是在正整数指数幂的基础上取倒数，所以正数的负分数指数幂也是在正分数指数幂的基础上取倒数．我们规定 至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了. 新课学习 例2：计算： (1 (2 由负分数指数幂的定义，得 C C 新课学习 例2：计算： (3. 由负分数指数幂的定义，得. 设，由定义，得， 即(b＞0)， 所以64 C 新课学习 思考一下：指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗？ 我们分析一下这个问题： 下面以为例来认识无理数指数幂. 因为无理数，所以 上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值. 把以10为底数，的不足近似值为指数的各个幂，由小到大排成一列数： 新课学习 思考一下：指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗？ 我们分析一下这个问题： 同样，把以10为底数，的过剩近似值为指数的各个幂，由大到小排成一列数： 借助计算器，可以得到下表： 新课学习 不足近似值 过剩近似值 α 10α 10α α 1.4 25.11886431 31.62277660 1.5 1.41 25.70395782 26.30267991 1.42 1.414 25.94179362 26.00159563 1.415 1.4142 25.95374300 25.95971976 1.4143 1.41421 25.95434062 26.95493825 1.41422 从表可以看出，的不足近似值和过剩近似值相同的位数越多，即的近似值精确度越高， 课堂巩固 以其不足近似值和过剩近似值α为指数的幂10α 会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为 ，即 =25.954 ． 一般地，给定正数a，对任意无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα. 自然地，规定： 例如：. 由于实数分为有理数和无理数，则引入了无理数指数幂后，我们就把指数幂中指数的范围拓展到了全体实数. 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 A 课堂巩固 A 课堂巩固 B 课堂巩固 a0.5 课堂总结 1.n次方根和根式的概念 2.正分数指数幂的概念 3.负分数指数幂的概念 THANK YOU ... ...
