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课件网) 5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 学习目标 1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，体现数学抽象能力（重点） 2.掌握函数零点存在定理，体现数学抽象能力（重点） 3.能结合图象求解零点问题，体现逻辑推理能力（难点） 新课导入 我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，它们有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法而实际上，绝大部分方程没有求解公式.本节我们就利用方程与函数的关系判断方程解的存在性，并给出方程近似解的求法. 新课学习 分析下面的例子： 从函数的角度判定方程x2-x-6=0实数根的存在性： 观察函数f(x)=x2-x-6的图象， 容易得出，它的图象是开口向上的抛物线，且f(0)=-6<0，f(4)=6>0，f(-4)=14>0. 由于函数f(x)的图象是连续的曲线，因此点B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4)内必有一点x1，使f(x1)=0； 同理，在区间(-4,0)内也必有一点x2，使f(x2)=0．因此，方程x2-x-6=0有两个不相等的实数根． 新课学习 零点的概念 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数的零点. f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 注意：实际问题中，大部分函数的图象都是连续曲线 新课学习 零点存在定理的概念 若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a,b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a,b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解. 新课学习 思考一下:函数的零点与方程的解的有什么关系？ 1.函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标. 2.如果函数在零点两侧对应的函数值异号，那么称这个零点为变号零点； 如果函数在零点两侧对应的函数值同号，称该零点为不变号零点.如2就是函数f(x)＝(x－2)2的不变号零点. 新课学习 思考一下：如果满足零点存在定理的条件，那么方程f(x)=0在区间(a,b)内只有一个解吗？ 不一定 如：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，f(0)f(4)=(-6)×6<0，但是该函数在区间内有三个零点x=1，x=2和x=3．即方程f(x)=0在区间(0,4)内有三个解. x y –1 1 2 3 4 –1 –2 1 2 O 新课学习 思考一下：若f(a)·f(b)>0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内一定没有解吗？ 不一定 如：f(x)=x2，在区间[-2,2]上，f(-2)=f(2)=4，所以f(-2)f(2)>0，但方程x2=0在区间(-2,2)内有零点x=0． x y O a b y=f(x) f(a)·f(b)>0 新课学习 思考一下：若f(a)·f(b)<0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内一定没有解吗？ 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上图象连续，则 f(a)·f(b)<0 方程f(x)=0在区间(a,b)内有解 即f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分条件而非必要条件． 新课学习 例1：方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？ 设函数f(x)=3x-x2，在区间[-1,0]上有 f(-1)=3-1-(-1)2= f(0)=30-02=1>0， 又因为函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程f(x)=0在区间(-1,0)内有解，即在区间[-1,0]内有解， 故方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有解． 新课学习 例2：判定方程(x-2)(x-5)=1有两个不相等的实数根，且一个根大于5，另一个根小于2． 设函数f(x)=(x-2)(x-5)-1，显然有f(2)=f(5)=-1<0． 画出函数f(x)=(x-2)(x-5)-1的图象，如图，观察得, f(-1)=(-1)×(-4)-1=3>0, f(6)=4×1-1=3>0 在区间[1,2]，[5,6]内分别应用零点存在定理，可知在区间(1,2)，(5,5)内，一元二次方程(x-2)(x-5)-1=0各有一个实数根． 所以方程(x-2)(x-5)=1有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 新课学习 例3：如图,对于四边形AB ... ...
