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课件网) 第五章 函数应用 5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 北师大版 必修第一册 学习目标 1. 了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系； 2. 掌握函数零点存在定理； 3. 能结合图象求解零点问题． 从不同的角度看问题 数的角度 形的角度 零点 我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，它们有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法而实际上，绝大部分方程没有求解公式. 本节我们就利用方程与函数的关系判断方程解的存在性，并给出方程近似解的求法. 在初中，我们已经学习了用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，能否换一种方法，从函数的角度研究如何判定一元二次方程实数根的存在性呢？ 观察函数 的图象： 由于函数 的图象是连续的曲线，因此点 与点 之间的那部分曲线必然穿过 轴，即在区间 内必有一点，使 ； 同理，在区间 内也必有一点 ，使． 因此，方程 有两个不相等的实数根． 抛物线 开口向上 函数的零点 零点：使得 f (x0)＝0 的数 x0 称为方程 f (x)＝0 的解，也称为函数的零点. f (x) 的零点就是函数 y＝f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 特别提醒： [1]函数的零点不是点，而是实数. [2]并不是所有的函数都有零点，如函数 均没有零点. [3]若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内. 函数零点与方程解的关系 函数 有零点 函数 的图象与 轴有公共点 方程 有实数解 [1] 函数 F(x)＝－g(x) 的零点就是方程 ＝g(x) 的实数解，也是函数 y＝ 与 y＝g(x) 的图象交点的横坐标. [2] 如果函数在零点两侧对应的函数值异号，那么称这个零点为变号零点； 如果函数在零点两侧对应的函数值同号，称该零点为不变号零点.如 2 就是函数 ＝(x－2)2 的不变号零点. 如图，观察函数 ， 零点所在区间，以及这一区间内函数图象与 轴的关系，你能用 ， 的取值刻画这种关系吗？ 在区间 内有零点 ， 它是方程 的一个根． 图象连续不断 穿过 轴 在区间 内有零点 ，它是方程 的一个根． 在 内有零点 ， 它是方程 的另一个根． 图象连续不断 穿过 轴 你能概括上面两种情况的共性吗？ [1] 在包含零点的某区间内，函数的图象“穿过” 轴 [2] 零点两侧的函数值符号相反，即 如果函数 在区间 上满足 ，是否一定能得到函数 在区间 内存在零点？为什么？ 不一定． 如 ，，，， 但是该函数在 内没有零点．因为函数的图象是断开的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过” 轴． x y O 除了函数 在区间 上满足 ，根据前面的讨论，追加什么条件就能保证函数 在区间 内存在零点？ 函数 的图象在给定区间 上的图象连续不断． 函数的零点存在定理 零点存在定理：若函数 y＝f (x) 在闭区间 [a,b] 上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即 f (a)f (b)＜0，则在开区间 (a,b) 内，函数 y＝f (x) 至少有一个零点，即在区间 (a,b) 内相应的方程 f (x)＝0 至少有一个解. 利用零点存在定理判断函数 y＝f (x) 在区间 (a,b) 内有零点的前提条件有两个： ① f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续曲线； ② f (a)f (b)＜0. 这两个条件缺一不可. 如果单调函数 y＝f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续曲线，并且有 f (a)f (b)＜0，那么函数 y＝f (x) 在区间 (a,b) 内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a,b)，使得 f (c)＝0，这个 c 也就是方程的解. 如果满足零点存在定理的条件，那么方程在区间内只有一个解吗？ 不一定． 如：，， 但是该函数在区间 内有三个零点，和 ． 即方程 在区间内有三个解， 运用零点存在定理只能判断方程 解的存在性，对于解的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究． x y –1 1 2 3 4 –1 ... ...
