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课件网) 3.3 幂函数 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 幂函数 一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数. 知识归纳 y=xα x α 知识点二 常见幂函数的图象和性质 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数 单调性 在(-∞,+∞) 上单调 在(-∞,0]上单调 ,在(0,+∞)上单调 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 在[0,+∞)上单调 定点 {x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} [0,+∞) 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 递增 递减 递增 递增 递减 递减 递增 (1,1) 『知识拓展』 一般幂函数的图象和性质 当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(不过点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线. 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非 偶函数 在(0,+∞) 上的 单调性 当α<0时,单调递减;当α>0时,单调递增 基础自测 1.已知f(x)=(a-1)xa为幂函数,则f(-2)等于( ) C 【解析】 因为f(x)是幂函数,所以a-1=1,得a=2,则f(x)=x2,f(-2)=4.故选C. 2.以下结论中,正确的为( ) [A]当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线 [B]幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 [C]若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大 [D]幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限 D 【解析】 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故A不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过点(0,0),故B不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故C不正确.故选D. 3.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( ) A 4.(人教A版必修第一册P91练习T2改编)比较大小.(用“<”或“>”连接) < (2)(-1.2)3 (-1.25)3; > 【解析】 (2)因为函数y=x3在R上是增函数,且-1.2>-1.25, 所以(-1.2)3>(-1.25)3. (3)5.25-1 5.26-1. > 【解析】 (3)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,且5.25<5.26, 所以5.25-1>5.26-1. 关键能力·素养培优 题型一 幂函数的概念 [例1] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为( ) [A]4 [B]3 [C]2 [D]1 C 【解析】 幂函数的一般表达式为y=xα,逐一对比可知题干中的幂函数有①y=x3,⑤y=x.故选C. ·解题策略· 幂函数解析式的特征 (1)xα的系数是1. (2)xα的底数是自变量,指数α为常数. (3)项数只有一项. [变式训练] 已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm+2m-n(m∈R)为幂函数,则n-m等于 ( ) [A]-1 [B]1 [C]-2 [D]2 D 【解析】 由幂函数的定义得m2-4m+5=1,且2m-n=0,解得m=2,n=4, 故n-m=2.故选D. 题型二 幂函数的图象 B ·解题策略· (1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性. (2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按逆时针方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图). (3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中 α的符号,根据图象的对称性确定α是奇数还是偶数. [变式训练] 若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则( ) [A]-1
1 [D]n<-1,m>1 B 【解析】 由图象知,y=xm在(0,+∞)上单调递增,所以m>0,y=xm的图象增长得越来越慢,所以m<1,y=xn在(0,+∞)上单调递减,所以n<0,又当x>1时,y=xn的图象在y=x-1图象的下方,所以n<-1.故选B. [例3] (苏教版必修第一册P140例2)试比较下列各组数的大小: (1)1.13,0.893; 题型三 利用幂函数单调性比较大小 【解】 (1)因为函数y=x3在区间[0,+∞)上单调递增,又1.1>0.89, 所以1.13>0.893. ·解题策略· 利用幂函 ... ... 