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课件网) 4.4.2 对数函数图象和性质 数学 ①巩固掌握对数概念、指数函数图象和性质，进一步掌握研究函数的一般过程与方法. ②初步了解对数函数的图象性质，并初步运用对数函数的性质解决比较大小等简单问题． ③培养数形结合的意识，提高识图能力；学会用联系、类比的观点分析问题. 一、学习前奏 历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. 【设置悬念】 在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= -lg[]，其中[]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如，在我国规定纯净水ph值只要在6.5~8.5之间即是合格产品.如果水的ph值过低则会有腐蚀作用，而ph值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的ph值都是控制在6.5~8.5之间.又如，人体的胃酸中氢离子的浓度大约为[]=2.5×摩尔/升. 思考1：已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[]=摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？人体的胃酸pH又是多少（可用计算器）？ 答案：7 是 1.60 思考2：请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？ （提示：若记溶液酸碱度为y，氢离子浓度为x，写出y关于x的函数解析式） 答案：越强；变化关系为y= -lg x，则需要研究对数函数y=lg x的单调性. 思考3：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？ 先根据解析式画出函数图象，然后借助图象归纳概括其性质. 【合作探究1】 利用“描点法”作函数和的图像．函数的定义域为，取x的一些值,列表如下： x … 1 2 4 … … -2[ -1 0 1[来源:] 2 … … 2 1 0 -1 -2 … 描点 连线 2 1 -1 -2 1 2 4 O y x 3 1 4 这两个函数的图象有什么关系呢？ 关于x轴对称 思考：观察函数和的图象，说出它们的性质？ （1）函数和的图像都在y轴的右边； （2）图像都经过点(1,0)； （3）函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势； （4）两个函数的图象关于x轴对称. 【合作探究2】学生以小组为单位合作完成： 在同一坐标系内，利用“描点法” 作函数和的图像，并总结图象的特点. 【合作探究3】对数函数的图象 把函数，，和的图象放到同一个坐标系中，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数（a>0，且a≠1）的值域和性质吗 函数，，的图象 对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质 图 象 性 质 a ＞ 1 0＜a＜1 定义域: 值 域: 过定点: 在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是 (0,+∞) R (1,0), 即当x＝1时,y＝0 增函数 减函数 y x O x =1 (1,0) y x O x =1 (1,0) 【小试牛刀】 例1 （1）函数y=logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( ) A．5 B. C.e D. (2)y＝logax＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点_____． AC （1,1） 跟踪训练1：(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝与y＝的图象为( ) （2）函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点_____. C (3,0) 【思考】（1）在同一坐标系内用描点法画出函数y＝图象与y＝的图象之后，说出这两个函数图象之间有什么关系. 提示：图象如图,图象关于y＝x对称. （2）对数函数中两个变量和函数值的取值范围分别是什么？有什么关系？ 提示：变量x的取值范围与指数函数中的y的取值范围相同，均为(0,+∞).变量y ... ...
