4.5.2 用二分法求方程的近似解 数学 学习目标 1.通过具体实例，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解(给定精确度)，体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 2.通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来，通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件. 学习重难点 重点： 二分法的原理，用二分法求方程近似解的一般步骤. 难点： 对利用二分法求函数零点近似值的原理及精确度的理解. 【设置悬念】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路大约有200多根电线杆. 可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能确定出故障的很小范围，你知道他是如何做到的吗？ 如图所示，他首先从线段AB的中点C开始查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段的中点D，若这次发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD的中点E来查. 每查一次，可以把待查的线段缩减一半，所以要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了. 【情境问题】 思考1 上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？ 答案：二分法. 思考2 工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆的关键是什么？ 答案：确立故障的范围. 思考3 如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆？ 答案： 6次. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) －4 ?1.307 1.099 3.386 5.609 7.792 9.946 12.079 14.197 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) －4 1.099 3.386 5.609 7.792 9.946 12.079 14.197 【结论】函数只有一个零点，落在区间(2,3)内. 【问题】如何求出这个零点？ 函数f(x)=ln x+2x-6部分对应值表如下，那么这个函数有几个零点，落在哪个区间内？ 根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 2.5625 0.066 2.5,2.5625? 2.53125 ?0.009 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 2.5625 0.066 2.53125 （2，3） 2.75 2.625 ?0.084 ? 0.512 0.215 2.5 （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） 缩小范围 零点在（2,3） （2.5,3） （2.5,2.75） ↓ ↓ 1. 算中点 2. 找异号 零点所在区间的长度 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的近似解 （精确度为0.1）. 根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 （2，3） 2.75 2.625 2.5625 ?0.084 ? 0.512 0.215 0.066 2.5 （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.5625） 1 0.5 0.25 区间长度 0.125 0.0625 2.53125 ?0.009 ? 问题:若给定精确度 ，如何选取近似值？ 说明: 由 |a-b|< 可知， 区间[a,b]中任意一个值都是零点x0 的满足精确度的近似值. 为了方便, 统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值. 根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.562 5） 2.53125 ?0.009 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.562 5） 2.53125 （2，3） 2.75 2.625 2.5625 ?0.084 ? 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.512 0.215 0.066 2.5 区间长度 |2.562 5?2.5|=0.062 5<0.1, ? 方程的近似解为2.562 5. 对于区间[a, b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【小试牛刀】 例1 下列图象所表示的函数中能用二分 ... ...
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