3.1.1 椭圆的标准方程 课件（共23张PPT） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

3.1.1 椭圆的标准方程 第3章 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程. 用一个平面去截圆锥，当平面经过圆锥的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆． 当改变平面与圆锥轴的夹角时，观察截线的变化情况，并思考： 用平面截圆锥还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？ ? ? ? ? 椭圆 双曲线 抛物线 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 其轨迹就是一个椭圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖一周. 问题1：在画图过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 问题2：类比圆的定义，你能否给椭圆下个定义呢？ 笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距. 记为2a 记为2c 椭圆的定义 问题3：当绳长和F1、 F2之间的距离相等时，点P的轨迹是什么图形？ 问题4：当绳长小于F1、 F2之间的距离时，点P的轨迹是什么图形？ 线段F1F2 无轨迹图形 F1 F2 P P F1 F2 解析：连接EA， ∵CD垂直平分AB，∴|EB|＝|EA|， 设圆的半径为r，则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|， 故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B. 例1 如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 B 问题：设椭圆C的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为2a(2a＞2c).怎样求椭圆C的方程？ 以F1，F2所在的直线为x轴、线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0). 设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a， 将这个方程移项后两边平方，得 两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2). 因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)， 由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上. 讨论：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0，-c)，F2 (0，c)，a，b的意义同上，则椭圆的方程是什么？ 焦点在x轴上： F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2 (0，c) x，y交换位置 椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 _____ _____? 图形 ? ? 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝_____ b2＋c2 练习：求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和. (1)????24+????2=1；(2)????24+????25=1. ? (1)焦点坐标为(3，0)，(?3，0)，2a＝4. (2)焦点坐标为(0，1)，(0，-1)，2a＝25. ? 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点分别是(-22，0)，(22，0)，且经过点(22，-2)； (3)过点(5，-2)和(0，22). ? 解：(1)由题可设该椭圆的方程为????2????2+????2????2＝1(a＞b＞0)， 又椭圆过点(0，2)和(1，0)，则4????2+0????2=10????2+1????2=1解得????2=4????2=1， 于是所求椭圆的标准方程为????24+????2＝1. ? (2)两个焦点分别是(-22，0)，(22，0)，且经过点(22，-2)； (3)过点(5，-2)和(0，22). ? (2)解法1 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为????2????2+????2????2=1(a＞b＞0)， ∵椭圆 ... ...