高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算 同步课堂 (原卷版+解析版)

1.1 空间向量及其运算 题型01 空间向量的概念 5 题型02 空间向量的线性运算 8 题型03 空间向量的共线与共面 11 题型04 空间向量的数量积 13 题型05 空间向量的投影向量 16 知识点1： 空间向量的有关概念 1．空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． 2．单位向量：长度或模为1的向量． 3．零向量：长度为0的向量． 4．相等向量：方向相同且模相等的向量． 5．相反向量：方向相反而模相等的向量． 6．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． 7．共面向量：平行于同一个平面的向量． 知识点2： 空间向量的加法运算 1．设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则． 2．空间向量加法的平行四边形法则． 3．加法交换律：a＋b＝b + a． 4．加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． 知识点3： 空间向量的减法运算 设a，b是空间任意两向量，若，则． 知识点4： 空间向量的数乘运算 1．设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则． 2．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb． 3．数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 4．当λ＞0时，与的方向相同． 5．当λ＜0时，与的方向相反． 6．|λ|＝|λ| ||． 知识点5： 共面向量 1．共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使． 2．设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使.其中x＋y＋z＝1． 知识点6： 空间向量的数量积 1．a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)． 3．|a|2＝a2，|a|＝． 4．空间向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积． 知识点7： 空间向量的投影向量 1．投影向量：向量在上的投影是． 2．投影长度：投影的长度为． 1．空间向量的线性运算． (1) 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3) 在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 2．三点P，A，B共线的证明． (1) ． (2) 对空间任一点O，． (3) 对空间任一点O，． 3．四点P，M，A，B共面的证明． (1) ． (2) 对空间任一点O，． (3) 对空间任一点O，． (4) ∥(或∥或∥)． 4．空间向量数量积的应用． (1) 求长度：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (2) 求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角． (3) 解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 题型01 空间向量的概念 （2024秋 和林格尔县校级期中）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】直接利用向量的相关概念求出结果． 【解答】解：对于①零向量的方向是任意的；正确 ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；错误； ③若空间向量，满足，则，错误； ④空间中任意两个单位向量必相等，应该为模相等，错误． 故选：D． 【变式练1】（2024春 华池县校级期中）下列命题是真命题的是（　　） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量 ... ...