高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2 空间向量基本定理 同步课堂 (原卷版+解析版)

1.2 空间向量基本定理 题型01 空间向量的基底 3 题型02 空间向量的表示 6 题型03 共线共面问题 9 题型04 求夹角 12 题型05 求距离 18 知识点1： 空间向量基本定理 1．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点2： 空间向量共线、共面问题 1．对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 知识点3： 由向量求夹角 1．θ为a，b的夹角，则cos θ＝． 2．若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0． 知识点4： 空间距离 1．|a|2＝a2． 2．|a|＝． 1．空间基底的判断． (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 2．空间向量的表示． (1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底． (2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律． (3)列式：列出式子，用基底表示目标向量． 3．空间向量的平行共面问题． (1)由向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． (2)空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 4．求夹角 (1)由数量积定义得cos〈a，b〉＝． (2)再求〈a，b〉的大小． (3)即得空间向量的夹角． 5．求长度 (1)运用公式|a|2＝a·a． (2)使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． 题型01 空间向量的基底 （2025春 平和县校级期末）若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可 【解答】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面， 对于选项A：，故，，共面，故A错误， 对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误， 对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确， 对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误， 故选：C． 【变式练1】（2024秋 四川期末）已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量2，2构成空间另一个基底的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量基底的定义和共面向量基本定理的应用求出结果． 【解答】解：由于{，，}是空间的一个基底， 对于A：由于，故A错误； 对于B：不存在实数λ和μ，使得，故B正确； 对于C：由于，故B错误； 对于D：假设存在实数λ和μ，使得，整理得，解得，故D错误． 故选：B． 【变式练2】（2024秋 青岛期末）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量基底的定义判断A、B、C、D的结论． 【解答】解：对于A：由于，故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B：由于，故不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C：由于，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D：由于，无解，故能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：D． 【变式练3】（多选）（2025 白水县校级开学）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次 ... ...