2.4 圆的方程 题型01 圆的标准方程 4 题型02 圆的一般方程 5 题型03 点与圆的位置关系 6 题型04 待定系数法求圆的方程 7 题型05 圆方程的应用 8 知识点1： 圆的标准方程 1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． 3．方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． 知识点2： 圆的一般方程 1．任意一个圆的方程都可化为：． 2．这个方程就叫做圆的一般方程． 知识点3： 点与⊙C的位置关系 1．|AC|r 点A在圆外 ． 知识点4： 圆的方程 1．圆的标准方程为：． 2．圆的一般方程． 1．圆标准方程的求解． (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径． (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程． 2．圆一般方程的求解． (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解． (3)应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解． 3．点与圆位置关系的判断． (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较． (2)代数法． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外． ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上． ③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内． 4．待定系数法求圆方程的步骤． (1)根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程． (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组． (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 5．圆的几何性质． (1)圆的弦的垂直平分线过圆心． (2)两条弦的垂直平分线的交点为圆心． (3)圆心与切点的连线垂直于切线． (4)圆心到切点的距离等于圆的半径． (5)圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形． (6)直径所对圆周角为直角． 题型01 圆的标准方程 （2025春 南阳期末）已知点A（﹣2，6），B（6，0），则以AB为直径的圆的方程为（ ） A．（x+2）2+（y+3）2＝25 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25 C．（x+2）2+（y+3）2＝1000 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝100 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程． 【解答】解：因为所求圆以AB为直径，所以圆心为AB中点（2，3）， 半径为线段AB长度的一半，即， 故圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25． 故选：B． 【变式练1】（2025 廊坊校级模拟）已知O为坐标原点，圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，则|OE|＝（ ） A．2 B．3 C． D．5 【变式练2】（2025 房山区开学）把圆x2+y2＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ） A．（x+1）2+（y+1）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝1 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝1 【变式练3】（2025春 静安区校级月考）圆心是（3，0），且过点（2，2）的圆的方程为 ． 题型02 圆的一般方程 （2025春 长宁区校级期末）圆x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0的圆心坐标为 ． 【答案】（3，1） 【分析】将圆化成标准方程，即可得到该圆的圆心坐标和半径大小，从而得到本题答案． 【解答】解：∵圆x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0化成标准方程为 （x﹣3）2+（y﹣1）2＝25 ∴该圆的圆心为C（3，1），半径r＝5 故答案为：（3，1） 【变式练1】（2025春 沙坪坝区校级期末）下列方程一定表示圆的是（ ） A．x2+y2＝0 B．x2+y2﹣2x+4y﹣6＝0 C．x2+y2+2ax﹣b2＝0（a，b∈R） D．x2+2xy+y2﹣9＝0 【变式练2】（2025春 杨浦区月考）已知圆C的方程是x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，则这个 ... ...
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