高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 同步课堂 (原卷版+解析版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型01 直线与圆位置关系的判断 4 题型02 圆与圆位置关系的判断 5 题型03 弦长问题 6 题型04 圆的切线方程 7 题型05 两圆公共弦问题 8 题型06 直线与圆的应用 9 知识点1： 直线与圆的位置关系 1．直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点． 2．直线与圆相交：直线与圆有两个公共点． 3．直线与圆相离：直线与圆没有公共点． 知识点2： 圆的切线方程 1．直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点． 2．几何法：圆心到直线的距离等于半径，即． 3．代数法：，方程组有一组不同的解． 知识点3： 直线与圆相交 1．直线与圆相交：直线与圆有两个公共点． 2．几何法：圆心到直线的距离小于半径，即． 3．代数法：，方程组有二组不同的解． 知识点4： 圆与圆的位置关系 1．两圆相离：无公共点；，方程组无解． 2．两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解． 3．两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解． 4．两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解． 5．两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆． 1．直线与圆位置关系的判断． (1)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (2)几何法：利用d与r的关系． (3)点与圆的位置关系：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交． 2．过某点的圆的切线方程． (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0． (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0． 3．直线与圆相交弦长的求解． (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2． 4．两圆公共弦的求解． (1)比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系． (2)两圆方程相减即得公共弦方程． (3)公共弦长要通过解直角三角形获得． 5．直线与圆位置关系的求解． (1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系． (2)直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形． (3)直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． 题型01 直线与圆位置关系的判断 （2025秋 江西月考）圆x2+y2＝1与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系． 【解答】解：由已知，圆x2+y2＝1圆心为O（0，0），半径为1， 圆心到直线的距离， 故圆与直线相交． 故选：A． 【变式练1】（2025 甘肃模拟）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝4，则（　　） A．l与C相离 B．l与C相切 C．l平分C D．l与C相交但不平分C 【变式练2】（2025春 浙江期中）直线l：xcosθ+ysinθ＝2+cosθ与圆O：（x﹣1）2+y2＝9的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式练3】（2024秋 海口校级期末）已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：x2+y2＝2，点A（1，1），则下列说法正确的是（　　） A．点A在圆C上，直线l与圆C相切 B．点A在圆C内，直线l与圆C相离 C．点A在圆C外，直线l与圆C相切 D．点A在圆C上，直线l与圆C相交 题型02 圆与圆位置关系的判断 （2025春 抚顺校级期末）已知圆，圆，则两个圆的位置关系为（　　） ... ...