4.3.3 对数函数的图象与性质【能力提升训练】高一上册湘教版数学必修第一册（原题+解析）

高一上册湘教版数学必修第一册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数集合 4.3 对数函数 4.3.3 对数函数的图象与性质 能力提升训练 1.（2025湖北重点高中联考）函数与指数函数且 互为反函数，且的图象过点，则 ( ) A. B.0 C.1 D. 2.（2024重庆八中阶段练习）若函数在 上有意义且 不单调，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.（2024甘肃兰州一中月考）已知的值域为，那么 的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.（2025甘肃平凉期中）已知函数，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 5.（2024甘肃兰州一中期中）已知函数 ，设 ,, ，则( ) A. B. C. D. 6.（2025甘肃省武威第七中学期末）已知函数 ，则关于的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 7.（多选/2025贵州六盘水期中）已知函数 为奇函数，则下列说法正确的是( ) A. B.若，如果当时，函数的值域是，则 C.若，则不等式的解集为 D.若，如果存在实数，使得成立，则实数 的取值范围是 8. （2024广东东莞期中）已知函数同时满足以下条件：①定义域为 ；，，；，， ， .请写出这样的一个函数： _____. 9.（2024湖南长沙雅礼中学阶段练习）若函数 则 的解集为_____. 10.已知函数若存在实数 满足 ，则 的取值范围是_____. 11. （2025江苏省梅村高级中学月考）若定义运算 则函数 的值域是_____. 12.（2025浙江杭州四中期末）已知函数,,其中 ， , . （1） 证明： . （2） 若,,求实数 的值. （3） 问是否存在实数，使得函数的定义域为 时，其值域恰好为 ,］？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.A【解析】 因为指数函数且的反函数为 ,所以 且 . 因为的图象过点,故函数的图象过 , （指数函数的图象与对数函数的图象关于直线 对称） 所以 （求底数,可利用指对互化将二者化为真数相同的对数形式）,故 ,所以 , 所以 . 2.D【解析】 根据对数底数的取值范围得且 . 设,则在区间上不单调,由知 图象开口向下,只需要对称轴,且,（注意对数的真数在 上大于0）即可,所以解得 . 3.C【解析】 当时,,其值域为 , 当时,的值域包含 , ,且,解得 . 4.D【解析】 因为, , 所以 , 则 ,则 . 5.C【解析】 易知 ,在 上为偶函数. 当时, 单调递增, 又 , ,即 . 6.C【解析】 因为 , 由可得或 , 即函数的定义域为 . 因为 ,所以函数 为偶函数, 任取,,且 , 则,,,令 , 则 , 即,所以函数在 上单调递增, （大招解:函数为偶函数,且函数在 上单调递增） 又函数在 上单调递增, 所以函数在 上为单调递增, 又函数在上为增函数,故函数在 上为增函数, 由可得,可得 , 解得或,因此,原不等式的解集为 . 7.AD【解析】 因为 为奇函数,所以 ,则,因为 ,所以 . 令,则由,得 . 因为在上单调递减,所以当时,在 上单调递增,所以,则 . 当时,,则由,得 , 所以 （【大招58】解同底对数的不等式,利用单调性,直接“脱掉”对数符号）, 解得 . 当时,在上单调递减,所以在 上的取值范围是.由题意知与的交集为非空,所以,解得 . 8.（答案不唯一） 【解析】 因为,,,,定义域为 ,所以函数是定义在上的增函数,又因为, 且 , 所以对数函数满足条件,, , 综上,函数 可以是底数大于1的对数函数. 9.或或} 【解析】 令,当时,由解得或,可得 ,所以当时,,解得 ,无解, 时,,解得,可得 ； 当时,,可得 , 所以当时,,解得或,可得 , 时,,解得 . 综上所述,的解集为或或 }. 10. 【解析】 画出 的大致图象,如图. 存在,满足 ,由图象可知, ,, , , ,即, （【大招62】）, 的取值范围是 . 11. 【解析】 依题意,由,得,即,解得 , 由,解得,因此 显然函数在上单调递减,取值集合为,在 上单调递增,取值集合为,所以函数的值域为 . 12.(1)【答案】 对于函数,由,解得或,由于 , 故,所以 . (2)【答案】 若,则,又,即,则 ,解得 . (3)【答案】 存在,的取值范围为 . 由,知 , 因为函数的值域恰好为 ,所以 ,必有.令 ... ...