5.1.3 基本计数原理的简单应用 课件（2份打包） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第五章 计数原理 5.1.3 课时2 基本计数原理的综合应用 1.会综合应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题. 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 区别 注意 都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事 只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 例1：计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路(即程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据. 一般地，一个程序模块由许多子模块组成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块. （1）这个程序模块有多少条执行路径？ （2）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？ 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成： 第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束. 第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成； 第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成. 因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理. 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 解：（1）由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、 子模块3中的子路径条数共为18 + 45 + 28 = 91条； 子模块4、子模块5中的子路径条数共为38 + 43 = 81条； 由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为 91×81 = 7371条. （2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块； 这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常； 总共需要的测试次数为 18 + 45 + 28 + 38 + 43 = 172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3×2 = 6. 如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常. 这样，测试整个模块的次数就变为 172 + 6 = 178（次）. 例2：通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号. 其中，序号的编码规则为： （1）由 10 个阿拉伯数字和除 O、I 之外的 24 个英文字母组成； （2）最多只能有 2 个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用 5 位序号编码， 那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数. 根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母. （1）当没有字母时，序号的每一位都是数字. 确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法. 根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为：10×10×10×10×10 = 10000. （2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类. 当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字： 第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法； 第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法. 根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10 = 240000. 同样，其余四个子 ... ...