5.2.1 排列与排列数 课件（18页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第五章 计数原理 5.2.1 排列与排列数 1．理解并掌握排列的概念．(数学抽象) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(逻辑推理) 说一说：在甲、乙、丙三人中选出两人站成一排进行拍照，有哪些站法呢？ 甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙 思考：这里我们可以说它们是一样的吗 丙 甲 乙 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法 分析：要完成的一件事情是选出2名同学参加活动，1名参上午的活动，另1名参加下午的活动，可以分两个步骤： 共 6 种不同选法 思考1：问题1中的顺序是什么？ 参加活动的顺序 问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分析：根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一个三位数，共可得到24个不同的三位数，如图所示. 由此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143；213，214，231，234，241，243； 312，314，321，324，341，342； 412，413，421，423，431，432. 思考2：问题2中的顺序是什么？ 问题2的顺序为百位在前，十位居中，个位在后. 思考3 ：问题1、2 有什么共同特点 试着将它们推广到一般情形. 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 排列的定义： 一般地，从 n 个不同的元素中取出 m (m ≤ n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列. 注意：判断一个问题是否是排列的两个标志： ① 取出元素；② 按照一定的顺序排列. 如问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列； “甲乙”与“乙甲”元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列. 如问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列. 相同排列： 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是： ①两个排列的元素完全相同，②元素的排列顺序也相同. 例1：判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10人组成一个学习小组； （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （6）某班40名学生在假期相互通信. 解：（2）（5）（6）属于排列问题，（1）（3）（4）不属于排列问题. 机票不同，但票价是一样的，不存在顺序问题 植树和种菜是不同的，存在顺序问题 （3）（4）不存在顺序问题 每个人的职务不同，存在顺序问题 A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的 方法归纳 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关. 这就说明，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题. 例2：(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，可以组成哪些两位数？一共可以组成多少个？ (2)从装有红、黄、蓝、白、黑五个球的袋子里取出三个球，分别给甲、乙、丙三人，共有多少种分配的方法？ 解：(1)由题意作树状图，如图： ； 故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个． (2)由题意作树状图，分别设红、黄、蓝、白、黑为a，b，c，d，e，如图： 故所有的排列为abc，abd，abe，acb，acd，ace，adb，adc，ade，aeb，aec，aed，bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde， ... ...