第一章 空间向量与立体几何 综合培优测试卷（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026高中数学选择性必修第一册第一章综合培优测试卷 空间向量与立体几何 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在试卷上 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知向量，若三点共线，则（ ） A． B． C．2 D．8 2．（本题5分）已知向量，则向量在向量上的投影为（ ） A． B． C． D． 3．（本题5分）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知在空间四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上的一个动点，则下列选项中不正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点G，使平面EFG C．线段上存在点G，使平面平面 D．设直线FG与平面所成角为，则的最大值为 7．（本题5分）已知直四棱柱的底面为矩形，，，，平面，，则三棱锥的体积为（ ） A． B．5 C．4 D． 8．（本题5分）记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（ ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知点，，向量，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）正方体的棱长为2，为的中点，则（ ） A． B．与所成角余弦值为 C．面与面所成角正弦值为 D．与面的距离为 11．（本题6分）已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（ ） A．当时，过点作球的截面的最小面积 B．当时，多面体 C．到平面距离是2 D．与平面的夹角正弦值是 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知两个平面，的法向量分别是和，若，则 ． 13．（本题5分）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 . 14．（本题5分）已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点． (1)求的值； (2)求证：； 16．（本题15分）如图，在梯形ABCD中，，，，E为边AD上的点，，，将沿直线CE翻折到的位置，且，连接PA，PB． (1)证明：； (2)Q为线段PA上一点，且，若二面角的大小为，求实数λ的值． 17．（本题15分）如图所示，多面体中，∥∥，平面平面，，且，，. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本题17分）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． (1)证明：； (2)若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 19．（本题17分）如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. (1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围； (2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 《2025-2026高中数学选择性必修第一册第一章综合培优测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A A C A B AC AD 题号 11 答案 ABC 1．A 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标 ... ...