(课件网) 3.2 基本不等式 新课程标准解读 核心素养 逻辑推理 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值 或最小值问题 数学建模 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 第一课时 基本不等式 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的 明暗使其看起来像一个风车. 【问题】 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 知识点 重要不等式与基本不等式 1. 重要不等式 对于任意实数 x 和 y ，有 ≥ xy ，当且仅当 时，等号 成立. x ＝ y 2. 基本不等式 设 a ≥0， b ≥0，有 ≥ ，当且仅当 时，等 号成立. 其中， 称为 a ， b 的 ， 称为 a ， b 的几何 平均值. 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数 的 平均值大于或等于它们的 平均值. a ＝ b 算术平均值 算术 几何 提醒 （1）不等式 a2＋ b2≥2 ab 与 ≥ 的比较：①两个不 等式 a2＋ b2≥2 ab 与 ≥ 成立的条件是不同的.前者要求 a ， b 是实数即可，而后者要求 a ≥0， b ≥0；②两个不等式 a2＋ b2≥2 ab 和 ≥ 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当 a ＝ b 时，等号成立”. （2）基本不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 ；② ab ≤ ≤ （其中 a ＞0， b ＞0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立）. 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于任意 a ， b ∈R， a2＋ b2≥2 ab . （ √ ） （2） n ∈N＋时， n ＋ ＞2 . （ √ ） （3） x ≠0时， x ＋ ≥2. （ × ） （4）若 a ＞0，则 a3＋ 的最小值为2 . （ × ） √ √ × × 2. （多选）若 a ＞ b ＞0，则下列不等式成立的是（ ） A. ＞ ＜ C. ＞ D. ＞ 解析： 由 a ＞ b ＞0，得 ＜ ，所以 ＜1，即 ＜ ，（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2＋2 ab ＞4 ab ，即 ＜ ，故选 项A、B、D均成立. 3. 若 x ＞0，则 y ＝ ＋ x 的最小值为 . 解析：∵ x ＞0， ＞0，∴ y ＝ x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝2时，等号成立，故 ymin＝4. 4 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 对基本不等式的理解 【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2； ②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4； ③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－2 ＝－2. 其中正确的推导为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 解析： ①∵ a ， b 为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式 的条件，故①的推导正确.②∵ a ∈R， a ≠0，不符合基本不等式的条 件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的.③由 xy ＜0，得 ， 均为负数， 但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后， ， 均变为正 数，符合基本不等式的条件，故③正确. 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 【跟踪训练】 不等式 a ＋1≥2 （ a ＞0）中等号成立的条件是（ C ） A. a ＝0 C. a ＝1 D. a ＝2 C 题型二 利用基本不等式比较大小 【例2】若 a ， b ∈R，则下列不等式恒成立的是（ ） A. ≥ ＋ ≥2 C. ≥（ ）2 D. （ a ＋ b ）（ ＋ ）≥4 解析： 令 a ＝－2， b ＝2，则A、B、D均错误.对于C，∵ a2＋ b2≥2 ab ，∴2 a2＋2 b2≥ a2＋ b2＋2 ab ，∴2（ a2＋ b2）≥（ a ＋ b ） 2，∴ ≥（ ）2，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，故C正确. 通性通法 运用基本不等式比较大小的注意点 （1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形； （2）应 ... ...
