(课件网) 培优课 不等式的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 基本不等式的综合应用 【例1】已知实数 x ， y 满足 x ＞ y ＞0，且 x ＋ y ＝2，则 ＋ 的 最小值为（ ） A. 3＋2 C. 3－2 D. 解析： ∵ x ＋ y ＝2， ＝ ＝1，∵ x ＞ y ＞ 0，∴ x － y ＞0，∴ ＋ ＝ （ ＋ ） ＝ ［3＋ ＋ ］≥ ［3＋2 ］＝ . 当且仅当 x ＋3 y ＝ （ x － y ）时，等号成立，因此， ＋ 的 最小值为 . 通性通法 在利用基本不等式求最大（小）值时，要特别注意“拆、拼、 凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（条件要求中字母为正 数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的 条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 【跟踪训练】 如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛 AMPN ， 要求点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C ，已知 AB ＝4 米， AD ＝3米，当 BM ＝ 米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小. 4 解析：设 BM ＝ x （ x ＞0），则由 DC ∥ AM 得 ＝ ，解得 ND ＝ ，∴矩形 AMPN 的面积为 S ＝（4＋ x ）（3＋ ）＝24＋3 x ＋ ≥24＋2 ＝48，当且仅当3 x ＝ ，即 x ＝4时等号成立.∴当 BM ＝4米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小. 题型二 一元高次不等式的解法 角度1 不等式组法解一元高次不等式 【例2】 解不等式（ x ＋2）（ x2－ x －12）＞0. 解：原不等式可化为或即 或解得 x ＞4或－3＜ x ＜－2.故原不等 式的解集为{ x ｜ x ＞4或－3＜ x ＜－2}. 通性通法 将高次不等式 f （ x ）＞0（＜0）中的多项式 f （ x ）分解成若干 个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化 为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各 不等式组解集的并集. 角度2 穿根引线法解一元高次不等式 【例3】 解不等式 ≤0. 解：原不等式可化为（ x2－3 x －4）（ x2－1）＜0或 即（ x －1）·（ x ＋1）2（ x －4）＜0或 x ＝4.令 （ x －1）（ x ＋1）2·（ x －4）＝0，可得 x ＝1或 x ＝4或 x ＝－1（偶次 根），结合图象可得不等式（ x －1）（ x ＋1）2（ x －4）＜0的解集 为{ x ｜1＜ x ＜4}，故原不等式的解集为{ x ｜1＜ x ≤4}. 通性通法 穿根引线法解一元高次不等式的步骤 （1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一 次或二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中 x 最高次数 的项的系数化为“＋”； （2）求出相应方程的根，并在数轴上表示出来； （3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循 “奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一 侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）. 简称“奇过偶不过”； （4）若不等式（ x 最高次数的项的系数符号化为“＋”后）“＞ 0”，则找“线”在数轴上方对应的 x 的取值范围；若不等式 “＜0”，则找“线”在数轴下方对应的 x 的取值范围. 【跟踪训练】 已知不等式（ ax2＋ bx ＋ c ）（ x ＋ d ）＞0的解集是{ x ｜ x ＜－3或1＜ x ＜4}.则不等式 ax3－（ b ＋ ad ） x2＋（ c ＋ bd ） x － cd ≤0的解集 为 . { x ｜－4≤ x ≤－1或 x ≥3} 解析：由穿根引线法可知－3，1，4为方程（ ax2＋ bx ＋ c ）·（ x ＋ d ）＝0的根，且 a ＜0.而 ax3－（ b ＋ ad ） x2＋（ c ＋ bd ） x － cd ＝ ax3－ bx2＋ cx － d （ ax2－ bx ＋ c ）＝（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）.∴原 不等式可化为（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）≤0.而（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）＝－[ a （－ x ）2 ... ...
