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课件网) 3.4.1.1 直线的方向向量与直线的向量表示 学习目标 1.能用向量语言表述直线，理解直线的方向向量的概念，体现数学抽象能力（重点） 2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量，体现逻辑推能力（重点） 3.理解点在直线上的充要条件，体现数学抽象能力（难点） 新课导入 在前面的学习中，我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是：首先将立体几何问题转化为向量问题，然后运用向量方法求解，最后再回到立体几何问题．几何特征的代数表述起着重要的作用． 我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来．那么如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线呢？ 新课学习 思考一下：如何用向量表示空间中的一个点P 空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的．如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量． 如何用向量表示空间中的一条直线 l 新课学习 思考一下：我们知道，空间中给定一个点 A和一个方向就可以确定唯一一条直线 l.如何用向量表示直线 l 用向量表示直线l,就是利用点A和直线l的方向向量表示直线的任意一点. 新课学习 直线l的方向向量的概念 设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称 为直线l的方向向量. 显然，一条直线有无数个方向向量，根据平行向量的定义可知:这些方向向量都平行，因此与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量. 空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定. 新课学习 直线l的向量表示的概念 如图，点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得 由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示. 新课学习 例1:在空间直角坐标系中，已知点A(4，2，0)，B(1，3，3)，点E是线段AB上的一点，且AE= AB，求点E的坐标. 设点E的坐标为(x1，y1，z1).由题意可知 所以 即 解得 所以点E的坐标为 新课学习 例2:在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0)，B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求 依题意知 因为点D是直线AB上的一点，所以存在实数λ，使得 则 由CD⊥AB，得 即 解得 所以 新课学习 例3:求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得 P A B O 如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得 又因为 所以 整理得 这个结论可以证明空间三点共线 新课学习 在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： 注意： 1.该向量是非零向量； 2.向量所在的直线与l平行或重合. 与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 新课学习 练一练：设(2,-2,1)，(3,-3,1)， 是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量. 根据题意得： 点(2,-2,1)和点(3,-3,1)是空间直线l上的点， 那么直线l的方向向量为u=(3-2,-3+2,1-1)=(1,1,0) ， 故直线l的一个方向向量(1,1,0) . 新课学习 练一练：在空间直角坐标系中，已知点A(2,1,3)，B(-1,3,1)，求直线AB与坐标xOy的交点C的坐标. 根据题意得： 设 则 又因为点C在坐标平面xOy内，所以3-2t=0 所以 所以点C的坐标为 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 -2 课堂总结 1.直线l的方向向量的概念 2.直线l的向量表示的概念 THANK YOU ... ...
