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课件网) 第三章 空间向量与立体几何 3.4.2.1空间向量与平行关系 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 探究1 设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，平面β的法向量分别为n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？ 提示 l∥m l∥m，l∥α l⊥n1，α∥β n1∥n2. 探究2 能否用向量法证明平行关系？如何证明？ 提示 可以.l∥m且l与m不重合 l∥m；l⊥n1，且l α l∥α；n1∥n2且α与β不重合 α∥β. 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 知识梳理 l∥m或l与m重合 _____； l∥α或l α _____； α∥β或α与β重合 n1∥n2. l∥m l⊥n1 例1 √ 若l∥α，则a·n＝0. (1)(多选)若直线l的方向向量为a，l不在平面α 内，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) √ A中a·n＝0， B中a·n＝1＋5＝6， C中a·n＝－1， D中a·n＝－3＋3＝0. √ (2)(链接教材P140习题3－4A组T2)若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则 A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确 ∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. 利用直线的方向向量和平面的法向量能直接判定平行关系或求参数. 训练1 √ (2)已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是 A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l α √ 因为a·u＝－3＋4－1＝0， 所以a⊥u，所以l∥α或l α. 例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 法二 如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则根据题意得 思维升华 证明线线平行的两种思路 长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 训练2 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 例3 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 如图所示，建立空间直角坐标系， D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G，连接EG， 法二 因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 又EG 平面EDB，且PA 平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 思维升华 利用空间向量证明线面平行的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理求证. (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 另外，证线面平行，一定注意直线在平面外. 训练3 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 如图以A为坐标原点AC，AA1所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系. 例4 (链接教材P127练习T4)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB. 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为a， 则D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)， B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a). 设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)， ... ...
