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课件网) 5.3.2 组合数及其性质 学习目标 1.理解组合数的概念，能利用计数原理推导组合数公式，体现逻辑推理能力（重点） 2.能运用组合数公式进行简单计算，体现逻辑推理能力（重点） 3.通过对实际问题的分析，掌握组合数的两个性质，体现数学计算能力（难点） 新课导入 上一节课我们学习了通过列举法计算组合，或者用排列来计算组合的问题，那么根据排列数的学习，组合数还有计算公式吗？如果有，是什么？排列数的计算公式与组合数的计算公式有什么区别和联系吗？ 让我们这节课学习一下. 新课学习 组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的一个组合数.记作 . 举个例子： 从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为 新课学习 思考一下：对于一般的组合问题，如何计算所有组合的个数呢？ 下面我们通过分解排列数的计算步骤来计算组合数的方法. 对于上面的问题2，从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素的排列问题可以分解成一下两个步骤： 第1步，从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素，共有 种取法; 第2步，将取出的2个元素进行排列，共有 种排法. 因此，根据分步乘法计数原理， 从而 新课学习 思考一下：把“从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素进行排列”这件事，要怎么做？ 第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种取法; 第2步，将取出的m个元素进行排列，共有 种排法. 因此，根据分步乘法计数原理，我们得到“从n个不同元素中取出m(m≤n, 且m,n∈N+)个元素进行排列”共有 种排法，即 . 新课学习 组合数公式的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数为 上述这个公式叫作组合数公式. 规定： 新课学习 例1：计算：(1) ；(2) . (1) (2) 新课学习 例 2： 已知平面内有 12 个点, 任何 3 个点均不在同一直线上, 以每 3 个点为顶点画一个三角形,一共可以画多少个三角形？ 分析： 已知"任何 3 个点均不在同一直线上"， 所以在 12 个点中任取 3 个点都可以构成一个三角形， 且这 3 个点不必考虑顺序， 如△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA都表示同一个三角形. 因此， 这是一个从12个不同元素中取出3个元素的组合问题. 新课学习 例 2： 已知平面内有12个点, 任何3个点均不在同一直线上, 以每3个点为顶点画一个三角形,一共可以画多少个三角形？ 依题意知以平面内12个点中的每3个点为顶点画三角形，可画的三角形的个数，就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数， 即 因此，一共可以画220个三角形. 新课学习 思考下面的问题： 问题4：分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数. 分析:“从10人中选出6人参加比赛”相当于“从10人中选出4人不参加比赛”, 因此，从10人中选出6人参加比赛的方法数和从10人中选出4人不参加比赛的方法数是相同的, 即 新课学习 思考一下：根据上面的计算式子，你可以发现什么结论？ 1.两个组合数的下标相同； 2.两个上标的和等于下标. 所以，组合数有下面的性质 新课学习 证明上面的性质： 因此 新课学习 问题5：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛，共有多少种方案？ 分析：一方面，从11名中选出5名参加军事比武大赛，共有 种方案. 另一方面，选出的5名可以分成以下2类: 第1类，含有班长，共有 种方案； 第2类，不含班长，共有 种方案. 因此，根据分类加法计数原理， 共有 种方案. 由此，我们得到： 课堂巩固 思考一下：根据问题5，你可以发现什么结论？ 通过构造下面的情境来说明猜想. 猜想的左边表示：从(n+1)个不同的小球中取出m个小球的组合数. 现将这(n+1)个小球看 ... ...
