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课件网) 3.2.2 奇偶性 数学 第三章 函数的概念与性质 一、学习目标 二、课堂探究 三、课堂练习 四、课堂小结 五、布置作业 学习目标 ①掌握奇函数、偶函数的概念及符号表示． ②会利用奇偶性定义判断具体函数的奇偶性． ③能够利用函数的奇偶性解决相关函数问题． 【观察】 在我们的日常生活中，随时随处可以看到许许多多对称的现象，例如，六角形的雪花晶体、窗花图案、蝴蝶等. ① ② ③ ① ② ③ 问题1：上面的图形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？ 问题2：我们现在正在学习的函数图象，是否也具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？ 结论 ①②③都是轴对称图形,①②是中心对称图形. 结论 有些函数的图象具有对称性. 【问题探究1】画出并观察函数与 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 偶函数 结论 这两个函数的图象都关于y轴对称. 【问题探究2】观察下面表格，你能发现函数值分布有何特征吗？ x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... 9 4 1 0 1 4 9 ... ... -1 0 1 2 1 0 -1 ... 偶函数 结论 当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等. 【追问1】上述结论是否具有一般性？换言之，是否，都有 ， 成立？ 【追问2】图象关于 y 轴对称的函数是否都满足上面的结论？ 偶函数 结论 x∈R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x),所以上面的结论成立. 结论 满足. 【问题探究3】 类似于函数 与 ，我们将图象关于 y 轴对称的函数称为偶函数，你能给出偶函数定义的符号表示吗？ 一般地，设函数 定义域为 D，如果 ，都有_____，且_____， 那么函数就叫做偶函数（even function）. 偶函数 【追问1】偶函数的概念中，为什么强调，都有 ？ 【追问2】你能举出几个偶函数的例子吗？ 偶函数 结论 偶函数的定义域关于原点对称. 结论 开放性问题,是偶函数即可,例如f(x)=x2+1， 【问题探究4】画出并观察函数 与 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 结论 这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 奇函数 【问题探究5】观察下面的表格，你能发现函数值分布有何特征吗？ x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... ... ... ... 奇函数 -3 -2 -1 0 1 2 3 - - -1 无 1 结论 当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数. 【追问1】上述结论是否具有一般性？换言之，是否 ，其中是函数定义域，，都有 ， 成立？ 【追问2】图象关于原点中心对称的函数是否都满足上面的结论？ 结论 ∈ ，其中 是函数的定义域，且 ∈ ,所以上面的结论成立 结论 满足. 奇函数 【问题探究6】 类似于函数 与 ，我们将图象关于原点中心对称的函数称为奇函数，你能给出奇函数定义的符号表示吗？ 一般地，设函数 定义域为 D，如果 ，都有_____，且_____， 那么函数 就叫做奇函数（odd function）. 奇函数 【追问1】奇函数的概念中，为什么强调 ，都有 ？ 【追问2】你能举出几个奇函数的例子吗？ 结论 奇函数的定义域关于原点对称. 结论 开放性问题,是奇函数即可,例如f(x)=x3,g(x)=2x+. 奇函数 【例题讲解】 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解 (1)函数的定义域为R. 因为 x∈R,都有-x∈R,且所以函数为偶函数. (2)函数的定义域为R. 因为 x∈R,都有R,且 所以函数为奇函数. (3)函数的定义域为. 因为,都有,且 所以函数为奇函数. (4)函数的定义域为. 因为,都有,且 所以函数为偶函数. 【规律方法】 根据定义判断一个函数是否具有奇偶性的一般步骤： （1）求解函数 定义域，若定义域不关于原点对称，则函数 为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步骤； （2）计算 ，确定 与 关系； （3）若 ，则 为偶函数； ... ...
