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课件网) 第三章 第六单元 幂函数 （共1课时） 人教A版必修第一册 学习目标 经历从函数中提取共性，抽象出幂函数的描述性定义的过程，发展学生数学抽象核心素养； 经历画幂函数的图象，并结合这几个幂函数的图象归纳出幂函数的图象变化和性质的过程，发展学生逻辑推理核心素养； 经历研究幂函数的方法，体会一般观念指引下的数学对象研究思路. 【问题1】以下是我们生活中遇到的几个函数问题，请写出解析式. （1）如果张红购买了每千克1元的水果w千克，她需要付的钱数为p，试将p表示成w的函数； （2）如果正方形的边长为a，面积为S，试将S表示成a的函数； （3）如果立方体的边长为a，体积为V，试将V表示成a的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，正方形的边长为a，试将a表示成S的函数. （5）如果某人t 秒内骑车行进了1km，他骑车的平均速度为v，试将v表示成 t 的函数. 情境引入 【追问1】以上问题中的函数具有什么共同特征？ (1)以幂的底为自变量,幂指数为常数； (2)系数为1，且只有一项. 情境引入 1.幂函数的概念 幂函数： 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数. 【追问2】接下来，我们应该研究幂函数的哪些内容？ 2.简单幂函数的图象和性质 【问题2】在第一象限，幂函数y=xα的共同特征是什么？ 当α的变化怎样影响函数图象？幂函数有渐近线吗？ 引导语：在同一坐标系中画出函数，，，和在第一象限的图象. 第一象限的图象特征及函数性质： (1)幂函数的图像都过(1，1)点； (2)当α>0时，图象从左往右上升，为增函数； 且α>1时图象较为陡峭，是下凸函数； 0<α<1 时图象较为平缓，是上凸函数； 当α<0时，图象从左往右下降，为减函数； (3)y=x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近(有渐近线). 几何画板1 几何画板2 【追问2】幂函数y=xα有奇偶性吗？如果有α取何值 ？ 幂函数的图像特征及性质： (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数； 当α为偶数时，幂函数为偶函数. 2.简单幂函数的图象和性质 解析式 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 观察函数图像，完成下表 {x|x≠0} [0,+∞) R R R 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 在R上单增 在(-∞,0]上单减；在(0,+∞)上单增 在R上单增 在(-∞,0)上单减；在(0,+∞)上单减 在[0,+∞)上单增 (1,1) R R {y|y≠0} [0,+∞) [0,+∞) 【例2】证明幂函数是增函数，呢？ 证明：函数的定义域是. ，且，有 ， 因为 ， ， 所以 ，即幂函数是增函数. 2.简单幂函数的图象和性质 【例2】（1）幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，则幂函数的图象经过的“卦限”是 ( ) A．④，⑦ B．④，⑧ C．③，⑧ D．①，⑤ 3. 幂函数的图象和性质的应用 D 【例2】（2）如图所示是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像，则( ) A. 1
1 D.n< 1，m>1 B 3. 幂函数的图象和性质的应用 3. 幂函数的图象和性质的应用 【例2】（3）函数的图象是（ ） B 解之得 ：f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象 (如图所示)，观察图象可得： (1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1
