拓 视 野 探究空间两点间的最短路径 爸爸出差前，留给小华一道题： 如图为某地区的交通网.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的a1表示该段道路的长度（单位：千米），请你选择一条从A到B的最短路线. 爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”. 小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他信步走进小树林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫 撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一张真正的“交通网”，要求A，B两地的最短路线.只需把网上相当于A，B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫作模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！” 【问题探究】 【例1】 圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从点A到点C的最短距离为（ ） A.10 cm B. cm C.5 cm D.5 cm 尝试解答 【例2】 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，求蚂蚁爬行的最短路程. 尝试解答 【迁移应用】 1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，则PC的长为 . 2.圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求： （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. 拓视野 探究空间两点间的最短路径 【例1】 B 如图①所示，正方形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的底面半径为r，则r＝ cm，底面周长为2πr＝5π cm.将圆柱沿母线AD剪开，展开图如图②所示，则从A到C的最短距离即AC的长.∵AB＝＝ cm，BC＝AD＝5 cm，∴AC＝＝＝ cm. 【例2】 解：正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1'的长为最短路程.因此蚂蚁爬行的最短路程为. 迁移应用 1.2 解析：将侧面B1BCC1展到平面A1ACC1内，如图所示， 设PC＝x，由题意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝，在Rt△MAP1中，AM2＋A＝M，即22＋（3＋x）2＝（）2，解得x＝2，即PC＝2. 2.解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度， 设OB＝l，∠AOA'＝θ， 则解得所以OA＝40 cm，OM＝30 cm. 所以AM＝＝50 cm. 即绳子最短长度为50 cm. （2）作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，则PQ为所求的最短距离. 因为OA·OM＝AM·OQ， 所以OQ＝＝＝24 cm. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4 cm，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 2 / 2(
课件网) 拓 视 野 探究空间两点间的最短路径 爸爸出差前，留给小华一道题： 如图为某地区的交通网.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道 路，连线旁的a1表示该段道路的长度（单位：千米），请你选择一条 从A到B的最短路线. 爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开. 小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”. 小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他信步走进小树 林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网， ... ...
