竞赛讲座19 -排列、组合、二项式定理 基础知识 1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这是解决排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数,这是乘法原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,然后与其它“普通元素”全排列,然后再“松绑”,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,分别装入4个不同的盒子中的方法数应为,这也就是方程的正整数解的个数. 2.圆排列 (1)由的个元素中,每次取出个元素排在一个圆环上,叫做一个圆排列(或叫环状排列). (2)圆排列有三个特点:(i)无头无尾;(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列;(iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不同的圆排列. (3)定理:在的个元素中,每次取出个不同的元素进行圆排列,圆排列数为. 3.可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在个不同的元素中,每次取出个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种,所以从个不同的元素中,每次取出个元素的可重复的排列数为. 4.不尽相异元素的全排列 如果个元素中,有个元素相同,又有个元素相同,…,又有个元素相同(),这个元素全部取的排列叫做不尽相异的个元素的全排列,它的排列数是 5.可重组合 (1)从个元素,每次取出个元素,允许所取的元素重复出现次的组合叫从个元素取出个有重复的组合. (2)定理:从个元素每次取出个元素有重复的组合数为:. 6.二项式定理 (1)二项式定理(). (2)二项开展式共有项. (3)()叫做二项开展式的通项,这是开展式的第项. (4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等. (5)如果二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大;如果是奇数,则中间两项的二项式系数与最大. (6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和,即 7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数学竞赛的命题者却对其情有独钟. (1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式; (2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合; (3)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩; (4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关,其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,便可使问题迅速解决. 例题分析 例1.数1447,1005,1231有某些共同点,即每个数都是首位为1的四位数,且每个四位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个? 例2.有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数? 例3.有个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式? 例4.将个不同的小球放入个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多少种放法? 例5.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及 ... ...
~~ 您好,已阅读到文档的结尾了 ~~