竞赛讲座：第19节--排列、组合、二项式定理

竞赛讲座19 -排列、组合、二项式定理 基础知识 1．排列组合题的求解策略 （1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略． （2）分类与分步 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理． （3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数． （4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间． （5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列． （6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为，这也就是方程的正整数解的个数． 2．圆排列 （1）由的个元素中，每次取出个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）． （2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列． （3）定理：在的个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． 3．可重排列 允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列． 在个不同的元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种，所以从个不同的元素中，每次取出个元素的可重复的排列数为． 4．不尽相异元素的全排列 如果个元素中，有个元素相同，又有个元素相同，…，又有个元素相同（），这个元素全部取的排列叫做不尽相异的个元素的全排列，它的排列数是 5．可重组合 （1）从个元素，每次取出个元素，允许所取的元素重复出现次的组合叫从个元素取出个有重复的组合． （2）定理：从个元素每次取出个元素有重复的组合数为：． 6．二项式定理 （1）二项式定理（）． （2）二项开展式共有项． （3）（）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第项． （4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等． （5）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果是奇数，则中间两项的二项式系数与最大． （6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即 7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟． （1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式； （2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合； （3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩； （4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决． 例题分析 例1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？ 例2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？ 例3．有个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？ 例4．将个不同的小球放入个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？ 例5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及 ... ...