第三章 4.2 第一课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第一册

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第一课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系 新课程标准解读 核心素养 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系 数学运算 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） 逻辑推理 　　观察图片，旗杆底部的平台和地面平行、旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行. 【问题】　旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　空间平行关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量. （1）l∥m或l与m重合 　　　　； （2）l∥α或l α 　　　　； （3）α∥β或α与β重合 　　　　. 提醒　（1）直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行； （2）用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合. 1.若直线l1和l2的方向向量分别是a＝（1，－1，2），b＝（－2，2，－4），则（　　） A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.l1∥l2或l1与l2重合 2.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），v＝（－3，－6，3），则（　　） A.α∥β　　　　　 B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确 3.已知直线l的一个方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为　　　　. 题型一 直线和直线平行 【例1】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 尝试解答 通性通法 证明两直线平行的两种思路 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 题型二 直线和平面平行 【例2】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 尝试解答 通性通法 利用空间向量证明线面平行的三种方法 方法一：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； 方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； 方法三：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. 【跟踪训练】 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 题型三 平面和平面平行 【例3】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F. 尝试解答 通性通法 证明面面平行问题的方法 （1）转化为相应的线线平行或线面平行； （2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行. 【跟踪训练】 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 题型四 平行关系中的探究性问题 【例4】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO. 尝试解答 通性通法 1.求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式. 2. ... ...