第三章 4.2 第二课时　空间中直线、平面的垂直（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第一册

第二课时　空间中直线、平面的垂直 新课程标准解读 核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 数学抽象、直观想象 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系 逻辑推理、直观想象 　　观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直. 【问题】　如何证明旗杆与地面垂直？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间垂直关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 （1）l⊥m 　　　　； （2）l⊥α 　　　　； （3）α⊥β 　　　　. 知识点二　三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 【想一想】 若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？ 1.（多选）下列命题中，正确的命题为（　　） A.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β B.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0 C.若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥a D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直 2.若直线l的方向向量a＝（1，0，2），平面α的法向量为n＝（－2，0，－4），则（　　） A.l∥α　　　　　　 B.l⊥α C.l α D.l与α斜交 3.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝（3λ＋1，0，2λ），b＝（1，λ－1，λ），若l1⊥l2，则λ的值为　　　　. 4.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为 u＝（－1，0，5），v＝（t，5，1），则t的值为　　　　. 题型一 利用空间向量证明垂直问题 【例1】　如图所示，在四棱锥E-ABCD中，平面ABE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证： （1）AE⊥平面BCE； （2）平面BDF⊥平面ABCD. 尝试解答 通性通法 用空间向量证明垂直的方法 （1）线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零； （2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示； （3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 【跟踪训练】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 题型二 三垂线定理及逆定理的应用 【例2】　如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C. 尝试解答 通性通法 利用三垂线定理证明垂直的步骤 （1）找平面（基准面）及平面的垂线； （2）找射影线（平面上的直线与斜线）； （3）证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直. 【跟踪训练】 　在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB. 题型三 利用空间向量解决位置关系中的探索性问题 【例3】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.在BC，DD1上是否分别存在点E，F，使B1E⊥平面ABF，若存在，请证明你的结论，并求出点E，F满足的条件；若不存在，请说明理由. 尝试解答 通性通法 解决立体几何中探索性问题的基本方法 （1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理； （2）探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为（x，y，z）；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为（x，y，0）；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为（0，0，z）； ... ...