一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.本章中的数学运算主要涉及以下内容：空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离. 培优一 空间向量的线性运算 【例1】 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是 . 尝试解答 培优二 空间向量的数量积运算 【例2】 已知向量a＝（1，－3，2），b＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）. （1）求｜2a＋b｜； （2）若O为坐标原点，在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b？ 尝试解答 培优三 空间角的计算 【例3】 （2023·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点. （1）证明：BC⊥DA； （2）点F满足＝，求二面角D-AB-F的正弦值. 尝试解答 培优四 空间距离的计算 【例4】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E为AB的中点. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）求点E到平面ACD1的距离. 尝试解答 二、直观想象 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.本章核心素养———直观想象主要涉及以下内容：利用空间向量判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧建空间直角坐标系. 培优五 利用空间向量证明平行、垂直问题 【例5】 （2022·北京高考17题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点. （1）求证：MN∥平面BCC1B1； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值. 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 尝试解答 培优六 空间直角坐标系的建立 【例6】 （2022·新高考Ⅱ卷20题）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点. （1）证明：OE∥平面PAC； （2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值. 尝试解答 章末复习与总结 【例1】 ③④ 解析：容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. 【例2】 解：（1）2a＋b＝（2，－6，4）＋（－2，1，1）＝（0，－5，5）， ∴｜2a＋b｜＝＝5. （2）设存在满足题意的点E（x，y，z），则有∥，且·b＝0. ∵＝（x＋3，y＋1，z－4），＝（1，－1，－2）， ∴解得 故在直线AB上存在点E（－，－，），使得⊥b. 【例3】 解：（1）证明：如图，连接DE，AE. 因为DC＝DB，E为BC的中点，所以BC⊥DE. 因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DC＝DB， 所以△ABD≌△ACD，所以AB＝AC. 又E为BC的中点，所以BC⊥AE. 又AE 平面ADE，DE 平面ADE，AE∩DE＝E， 所以BC⊥平面ADE. 又DA 平面ADE，所以BC⊥DA. （2）设DA＝DB＝DC＝2. 由∠ADB＝∠ADC＝60°，知△ABD与△ACD为等边三角形，所以AB＝AC＝2. 又BD⊥CD，所以BC＝2. 因为AB2＋AC2＝BC2， 所以△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°， 所以AE＝. 因为BD⊥CD，所以DE＝BC＝. 因为AE2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE. 又AE⊥BC，BC 平面BCD，DE 平面BCD，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BCD. 如图，分别以ED，EB，EA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角 ... ...
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