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课件网) 4.3.2 等比数列的通项公式 第4章 1.掌握等比数列的通项公式及其应用. 2.体会等比数列与指数函数的关系. 问题：你能分别写出数列①②③的通项公式吗？ 1，2，4，8，16，32，… ① ，… ② 1000×1.03，1000× ，…，1000×. ③ 问题：你能分别写出数列①②③的通项公式吗？ 1，2，4，8，16，32，… ① 用{an}表示数列①，根据等比数列的定义， 故 ， ， ， ······ 由此可知数列①的通项公式为： 类似地，数列②的通项公式为： ，… ② 1000×1.03，1000× ，…，1000×. ③ 数列③的通项公式为： c 思考：请写出一般等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列的首项为公比为那么根据等比数列的定义可知 ， 即 , ( ) , () , …… 由此可归纳出等比数列的通项公式为 （方法一：迭代法） 另外，由等比数列的定义可得 ， ， …… ， ， 将这个式子两边分别相乘，则有 ， 即等比数列的通项公式为 （方法二：累乘法） （） （当 n = 1 时，a1= a1 = a1，即当 n = 1 时，上式同样成立.） 1.等比数列的通项公式 一般地，若等比数列{an}的首项为a1，公比为则通项公式为： . 知三求一：等比数列的通项公式中共含有四个基本元素，即，，，，如果知道其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量. 例1 在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，q＝-2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解：(1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(-2)6-1＝-96. (2)设等比数列的公比为q，那么， 解得， ∴an＝anqn-1＝5×2n-1. 你还有别的方法么？ (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 类比：在等差数列 试问：在等比数列中，如果知道和公比q，能否求 如果能，请写出表达式. . [法二]∵，即160＝20×， ∴ ∴ 归纳总结 等比数列通项公式的求法 ①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法. ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列. 解：设插入的3个数为a2，a3，a4， 由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列， 设公比为q，则3＝243q5-1，解得q＝±， 因此所求的3个数为81，27，9或-81，27，-9. 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ (x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). (2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 例3 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0
1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件. D 归纳总结 (1)当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，数列{an}是递减数列. (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列. 判断等比数列{an}的单调性的方法 等比数列 概念 通项公式 （知三求一） 推导公式： 1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( ) A.－ B.－2 C.2 D. 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A.4 B.8 C.6 D.32 D C 3.若{an}为等比数列，则“a1
