4.1.1 数列的概念与表示 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类. 3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项. 情境1：小毛从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 75，87，96，103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 记小毛第 i 岁时的身高为 hi h1=75 ，h2＝87 ，h3＝96 ，…，h17＝168． 不能交换位置，具有确定顺序. 情境2：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，96，112，128， 144，160，176，192，208，224，240. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 不能交换位置，具有确定顺序. 记第 i 天月亮可见部分的数为 si s1=5 ，s2＝10 ，s3＝20 ，…，s15＝240． 一、数列 1.定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 3.项数：组成数列的数的个数称为数列的项数，例如数列5，10，20，40，80中，项数为5. 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，最后一项一般也称为这个数列的末项.项数无限的数列称为无穷数列. 数列的一般形式是 : ????1?,?????2?,?...?,??????????,?...?，简记为{????????}. ? {????????}：表示数列 ????????：仅表示数列中的第n项这一个数值 ? 数列{????????}中的每一项????????与它的序号????(下标)有下列的对应关系： ? 序号 1 2 3 … n … … … 项 {????????}与????????一样吗？为什么？ ? N* R ????????= f(n) ? 当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{????????}. 另一方面，对于函数????=????????，如果f(n) (n∈N*）有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}. ? 序号 1 2 3 … n … … … 项 注：数列是自变量为离散的数的函数． 数列也可以用表格和图象来表示． 例如，情境1的小毛身高可以表示表格与图像如下. 问题1：从表和图中，你能发现数列1中的项随序号的变化呈现出的特点吗？ 单调性！ 数列单调性 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. 注：数列是特殊的函数. 问题2：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系? 这一关系可否用一个公式表示? 如果数列{????????}的第????项????????与n之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ? 思考： 你能写出?12 、14 、?18、 116...，数列的通项公式吗？ ? ????????=?12???? ? 例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 020，2 021，2 022，2 023，2 024； (1)(6)是有穷数列； (2)(3)(4)(5)是无穷数列； (1)(2)是递增数列； (3)是递减数列； (6)是常数列； (5)是周期数列. 例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为 (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数： 所以它的一个通项公式为 例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (3)9，99，999，9 999；(4)2，0，2，0. (3) 各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…， 此数列的 ... ...
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