5.5 三角函数模型的简单应用 课件(共12张PPT) 2025-2026学年湘教版2019高中数学必修第一册

(课件网) 第5章 三角函数 5.5 三角函数模型的简单应用 1. 能从实际问题中抽象出三角函数模型，会用三角函数模型解决简单的实际问题. 现实生活中有大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等. 这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复运动，在物理学中，把这样的运动成为“简谐运动”. 例1：某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中， 时间 t (单位：s)与位移 y (单位：mm) 之间的对应数据如下表所示. 请根据这些数据确定振子的位移关于时间的函数解析式. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 解：根据已知数据， 描出散点图： 由数据表和散点图可知， 振子位移与时间的解析式为： y = 20sin ( – )，t∈[0，+ ∞). 练一练1：弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 B，C 两点间做简谐运动，B，C两点相距 20 cm，某时刻振子处在 B 点，经 0.5 s 振子首次到达 C 点；求振动的振幅、周期和频率. O B C 解：设振幅为 A，则 2A = 20 cm，即 A = 10 cm； 设周期为 T，频率为 f，则 = 0.5，即 T = 1.0 s； 所以 f = = 1 Hz； 综上，该振子振动的振幅为 10 cm，周期为1.0 s，频率为 1 Hz. 例2 ：某次实验测得的交变电流 i (单位：A) 随时间 t (单位：s) 变化的图像放大之后如图，求电流 i 随时间 t 变化的函数关系式. 分析：由交流电的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用 i = Asin (ωt + φ) 来刻画，其中 表示频率，A 表示振幅，φ 表示初相. 如图，求交变电流 i 随时间 t 变化的函数关系式. 解：电流 i 随时间 t 变化规律为：i = Asin (ωt + φ) ， 由图可知：电流最大值为 5 A，因此 A = 5； 电流变化的周期为 0.02 s，频率为 f = = 50 Hz， 所以 f = = = 50，解得 ω = 100π； 再由初始状态(t = 0 s)的电流约为4.33 A，即 4.33 = 5sin φ， 解得 sin φ = 0.866，因此 φ 约为 ； 所以电流 i 随时间 t 变化的解析式为：i = 5sin (100πt + ) . 练一练2：已知某函数 y = Asin (ωt + φ) 的图像如图，求解析式？( 0 < φ < ) . 解：由图可知 A = 10，T = 2×( – ) = ， 所以 ω = = 100π； 当 t = 0 时，y = 5，即 5 = 10sin φ，sin φ = ， 又 0 < φ < ，故 φ = ； 所以函数解析式为： y = 10sin (100πt + ). 例3：如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： y = Asin (ωx + φ) + b. （1）求这一天 6 ~ 14 时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 解：（1）由图可知：这段时间最大温差为 20 ℃； （2）该图象是函数 y = Asin (ωx + φ) + b 的半个周期的函数图象， 所以 A = 10，b = 20， f = = 1 Hz；又 × = 14 – 6，解得 ω = ； 将 A = 10，b = 20，ω = ，x = 6，y = 10 代入，可得 φ = . 综上，所求解析式为 y = 10sin (x + ) + 20，x∈[6，14]. 思考：如图，为什么一定要强调时间是 6 ~ 14 时的温度变化曲线？能不能用函数 y = Asin (ωx + φ) + b 表示全天的温度变化？ 由于全天的温度波动过大，很难找到准确的函数解析式来表示全天的温度变化，故只能找某段时间内近似的变化曲线来用函数表示. 注意：一般求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况， 因此要特别注意自变量的变化范围；如 y = 10sin (x + ) + 20，x∈[6，14]. 练一练3：某城市一年中 12 个月的平均气温 y 与月份 x 的关系可近似的用函数 来表示，已知 6 月份的平均气温最高为 28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的月平均气温是多少度？ 解：由题意有，解得 ， 所以； 当 x ... ...