第1单元 集合与常用逻辑用语（基础篇）（原卷版 解析版）

第1单元 集合与常用逻辑用语（基础篇） 基础知识讲解 一．子集与真子集 1.真子集是对于子集来说的． 真子集定义：如果集合A B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集． 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集， 若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 2、真子集和子集的区别 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等； 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等； 注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}； 另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 【技巧点拨】 注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A B，并且B A时，有A＝B，但是A B，并且B A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的． 二．集合的包含关系判断及应用 【技巧点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 三．空集的定义、性质及运算 1.空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点． 例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝ ．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集． 2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【技巧点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B B A，实际上包含3种情况： ①B＝ ； ②B A且B≠ ； ③B＝A；往往遗漏B是 的情形 三．并集及其运算 【基础知识】 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言： A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 图形语言：． 运算形状： ①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝ ，两个集合都是空集．⑦A∪（ UA）＝U．⑧ U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）． 【技巧方法】 解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复． 四．交集及其运算 【基础知识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言： A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算形状： ①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）． 【技巧方法】 解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 五．补集及其运算 【基础知识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．其图形表示如图所示的Venn图．． ... ...