1.4.2 充要条件 学习目标 1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识归纳 知识点一 充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 ,又有 ,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为充要条件. 知识点二 条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p q,且qp 充分不必要条件 pq,且q p 必要不充分条件 p q,且q p 充要条件 pq,且qp 既不充分也不必要条件 (1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系. (2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q 等价. 基础自测 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) [A]充要条件 [B]充分不必要条件 [C]必要不充分条件 [D]既不充分也不必要条件 2.“10”的( ) [A]充要条件 [B]充分不必要条件 [C]必要不充分条件 [D]既不充分也不必要条件 3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的( ) [A]充要条件 [B]充分不必要条件 [C]必要不充分条件 [D]既不充分也不必要条件 4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是( ) [A]m=-2 [B]m=2 [C]m=-1 [D]m=1 题型一 四种条件关系的判断与探求 [例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的 ; (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的 ; (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的 ; (4)若x∈R,则x2=2是x=2的 . [典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有( ) [A]p:02,q:|x|>2 [典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件. 1.四种条件关系的判断方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论: ①若A=B,则p是q的充要条件; ②若A B,则p是q的充分不必要条件; ③若A B,则p是q的必要不充分条件; ④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件. 2.探求充要条件的方法 探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明. 题型二 充要条件的证明 [例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件. [提示:a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)] 证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p. [变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 题型三 条件关系的应用 [例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). (1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围; (3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 应用条件关系求参数的值(取值范围) 首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. [变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.1.4.2 充要条件 学习目标 1. ... ...
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