1.5.1 全称量词与存在量词 学习目标 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,提升数学抽象的核心素养.2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法,提升逻辑推理的核心素养. 知识归纳 知识点一 全称量词与全称量词命题 全称 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 全称 量词 命题 定义 含有 量词的命题,叫做全称量词命题 一般形式 对M中 x,p(x)成立 符号表示 ,p(x) 知识点二 存在量词与存在量词命题 存在 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 存在量 词命题 定义 含有 量词的命题,叫做存在量词命题 一般形式 M中的元素x,p(x)成立 符号表示 ,p(x) 从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的.存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. 基础自测 1.下列命题中的存在量词命题是( ) [A]所有能被3整除的整数都是奇数 [B]每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 [C]有的三角形是等边三角形 [D]任意两个等边三角形都相似 2.(人教A版必修第一册P28练习T1改编)下列命题为全称量词命题的是( ) [A]有一个偶数是素数 [B]有的有理数的立方是无理数 [C]存在一个三角形,它的三个角都是锐角 [D]任意三角形的内角和都是180° 3.下列命题与“ x∈R,x2+1≥1”的表述意义一致的是( ) [A]有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立 [B]有些实数x,使得x2+1≥1成立 [C]不存在实数x,使得x2+1<1成立 [D]有无数个实数x,使得x2+1≥1成立 4.将“存在一个实数x,使2x2-1≥0”用“ ”或“ ”符号简记为 . 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 [例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)有些实数是无理数; (2)每一个正方形都是平行四边形; (3) x∈R,x2+4x+4≤0; (4) x∈N,2x是偶数; (5)方程2x+1=0有整数解. (1)判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有全称量词还是存在量词. (2)要注意有些全称量词命题与存在量词命题中的量词是省略的,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同. [变式训练] 指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题. (1)任意实数x都能使|x|+1>0成立; (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解; (3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立; (4)至少有一个实数m,使得m与m的倒数之和等于1. 题型二 全称量词命题与存在量词命题真假的判断 [例2] (湘教版必修第一册P20~21例7和例8)判断下列命题的真假: (1) x∈R,x2+2>0; (2) x∈N,x4≥1; (3) a∈Z,a2=3a-2; (4) a≥3,a2=3a-2; (5)设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点,在该平面上存在某个点P,使得PA=PB=PC. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 (1)全称量词命题真假的判断:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需找出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题. [变式训练] (多选)下列命题为真命题的是( ) [A] x∈Q,|x| Z [B] x∈Z,使x同时被3和4整除 [C] x∈R,|x+1|>1 [D] x∈N,2x2-3x+1=0 题型三 由含量词命题的真假求参数 [例3] (1)已知命题p: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若p为真命题,求实数a的取值范围; (2)已知命题q: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若q为真命题,求实数a的取值范围. 求解含量词命题中的参数取值范围的策略 (1)对于全称量 ... ...
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