5.5.2 简单的三角恒等变换 导学案 （含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 学习目标　1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式. 2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正弦、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明. 知识归纳 知识点一　半角公式 (1)sin = ; (2)cos = ; (3)tan = ; (4)tan ==. 半角公式中的“±”符号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留“±”两个符号;若给出α的具体范围,则先求的所在范围,然后根据所在的范围选用符号. 知识点二　积化和差 (1) =[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2) =[sin(α+β)-sin(α-β)]; (3) =[cos(α+β)+cos(α-β)]; (4) =-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 知识点三　和差化积 (1)sin θ+sin φ= ; (2)sin θ-sin φ= ; (3)cos θ+cos φ= ; (4)cos θ-cos φ= . (1)积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想. (2)积化和差从右边通过展开计算可以得到左边,和差化积结合角变换θ=+, φ=-从左边计算得到右边. 基础自测 1.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)下列各式与tan α相等的是(　　) [A] [B] [C] [D] 2.对任意的实数α,β,下列等式恒成立的是(　　) [A]cos α+cos β=2sin ·sin [B]cos α-cos β=2cos ·cos [C]2sin α·cos β=sin(α+β)+sin(α-β) [D]2cos α·sin β=cos(α+β)+cos(α-β) 3.化简的结果是(　　) [A]-cos 1 [B]cos 1 [C]cos 1 [D]-cos 1 4.已知cos 2α=,α∈(,π),则sin α= . 题型一　利用半角公式求值 [例1] (湘教版必修第二册P84例1)已知sin α=,求下列条件下sin ,cos ,tan 的值: (1)0<α<; (2)角α在第一象限. 利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的取值范围,求出相应半角的取值范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的取值范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算. [变式训练] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) [A] [B] [C] [D] (2)已知sin α=-,α∈(π,),则tan = . 题型二　利用和差化积、积化和差求值 [例2] 求sin270°+cos240°-sin 70°cos 40°的值. 和差化积、积化和差公式不要求记忆,使用它们时,注意利用以下方法做简单推导. (1)和差化积公式需要结合角的变换:cos 40°+cos 80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°). (2)积化和差公式需要利用解方程组的思想方法: [变式训练] 求下列各式的值: (1)sin cos ; (2)sin 20°+sin 40°-sin 80°. 题型三　三角函数式的化简 [例3] 化简:. 化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择适用于它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等. [变式训练] 化简:+(π<α<). 题型四　三角函数式的证明 [例4] (人教B版必修第三册P107例4)已知A+B+C=180°,求证:sin A+sin B+sin C= 4cos cos cos . 三角函数式证明的常用方法 (1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形以消除它们之间的差 ... ...