2.2　第2课时　基本不等式的应用（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第2课时　基本不等式的应用 学习 目标 1. 理解基本不等式的本质，掌握常数代换的技巧． 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 基本不等式链： 若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立． 本质：调和平均数≤几何平均数≤算数平均数≤平方平均数． 二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．) (1) 对于任意的正数a，b，且a＋b＝1，都有＋≤.(　 　) (2) 若a>0，b>0，则(a＋b)2≤2(a2＋b2).(　 　) (3) 若a>0，b>0，则(a＋b)≥4.(　 　) (4) 对于函数y＝x＋(x>1)，因为x与的积不是常数，所以不能用基本不等式求最小值．(　 　) 典例精讲能力初成 探究1　利用基本不等式的变形求最值 视角1　利用配凑法求最值 例1-1　函数y＝x＋(x>1)的最小值是 ；取到最小值时，x＝ ． 如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值，需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法、配系数法、分离常数法等． 变式　当x>－1时，y＝的最小值是 ． 视角2　利用常数代换法求最值 例1-2　(课本P45例2补充)(1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值． (2) 已知ab>0，a＋b＝1，则＋的最小值为(　 　) A. 0.5　 B. 1 C. 2　 D. 4 使用“1的代换”解题的结构特征： (1) 都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式(或化为分式)； (2) 已知“和式”可变为常数“1”； (3) 两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式． 变式　(1) 设x，y都是正数，且＋＝3，则2x＋y的最小值为 ． (2) 已知x>0，y>0，2x＋5y＝1，则＋的最小值是(　 　) A. 2　 B. 8 C. 4　 D. 6 (3) 已知x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y＋的最小值为(　 　) A. 9　 B. 10 C. 12　 D. 13 视角3　消元法求最值 例1-3　已知a>0，且a2－b＋4＝0，则有(　 　) A. 最大值　 B. 最小值 C. 最大值　 D. 最小值 视角4　条件等式求最值 例1-4　已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝16，那么xy的最大值为 ． 变式　若a，b均为正实数，且ab＝3，则的最小值是 ． 探究2　利用基本不等式解决实际应用问题 例2-1　(课本P46例3)(1) 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2) 用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例2-2　(课本P47例4)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ (例2-2) 应用不等式求解实际问题的最值时注意： (1) 找到定值条件； (2) 列出要求的表达式； (3) 结合基本不等式，找到彼此关系求解． 变式　运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设卡车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时46元(不考虑其他因素所产生的费用)． (1) 求这次行车总费用y(单位：元)关于x(单位：km/h)的表达式； (2) 当x为何值时，这次行车总费用y最低？求出最低总费用． 随堂内化及时评价 1. 已知00，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值是(　 　) A. 　 B. 2 C. 　 D. 4 3. 已知a>1，则的最小值为 ． 4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过 h后池水中该药品的浓度达到最大． 5. (2025·铜陵期末)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货 ... ...